2021年7月4日日曜日

log(x+√(x^2+1))の微分

生徒の質問。まぁ問題集にある初歩的な問題。

$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
$\log x$の微分は $\frac{1}{x}$である。 それとと合成関数の$f(g(x))$の微分は$f'(g(x))\times g'(x)$ から
$y'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\times(x+\sqrt{x^2+1})'$

$(x+\sqrt{x^2+1})'=1+(\sqrt{x^2+1})'$
そして、$\left(\sqrt{x^2+1}\right)' =\left((x^2+1)^{\frac{1}{2}}\right)' =\frac{1}{2}(x^2+1)^{\frac{-1}{2}}\times(x^2+1)' =\frac{1}{2}\times\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\times 2x =\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $
であるから、
$y'=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\times(x+\sqrt{x^2+1})' =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\times(1+\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}) =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}\times\frac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $

まぁ、計算が重なって、見失っていただけ。丁寧に説明。

以下、忘備録
で、この結果 $\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ の積分の問題はすこぶる面倒だな。というか、「この積分は逆双曲正弦関数 arcsinh だな。」と思い出したw
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\mathrm{arcsinh}x$

つまり、元の問題の式は逆双曲正弦関数の別表現である。
$\log(x+\sqrt{x^2+1})=\mathrm{arcsinh}x$である。
問題を解くだけならメモを残さないが、特徴的な関数なので、忘備録に

双曲正弦関数は$y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ なので、その逆関数 $y=\mathrm{arcsinh} x$ は $x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ ということである。

実際、$y=\log(x+\sqrt{x^2+1})$ なら log の定義より、$e^y=x+\sqrt{x^2+1}$である。
$e^{-y}=\frac{1}{e^y} =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} =\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{(x+\sqrt{x^2+1})(x-\sqrt{x^2+1})} =\frac{x-\sqrt{x^2+1}}{x^2-(x^2+1)} =-x+\sqrt{x^2+1} $
$e^y-e^{-y}=(x+\sqrt{x^2+1})-(-x+\sqrt{x^2+1})=2x$
$x=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
$x=\sinh y$ より、$y=\mathrm{arssinh} x$


なので、元の問題も逆双曲正弦関数 arcsinh の微分と考えれば、
$y=\mathrm{arcsinh}x$, $x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$
$y'=\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} =\frac{1}{(\sinh y)'} =\frac{1}{\cosh y} =\frac{1}{\frac{e^y+e^{-y}}{2}} =\frac{2}{e^y+e^{-y}}$

$x=\sinh y=\frac{e^y-e^{-y}}{2}$ より、両辺$2e^y$倍して、
$2xe^y=(e^y)^2-1$
$(e^y)^2-2xe^y-1=0$
$e^y=x\pm\sqrt{x^2+1}$
$e^{-y}=-x\mp\sqrt{x^2+1}$
$y'=\frac{2}{e^y+e^{-y}} =\frac{2}{(x\pm\sqrt{x^2+1})+(-x\mp\sqrt{x^2+1})} =\frac{2}{2\sqrt{x^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} $

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