2021年7月5日月曜日

1/√(x^2+1) の積分

$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$ を求めよ。

昨日の逆双曲正弦関数 $y=\mathrm{arcsinh}x$ の微分が$y'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ であること知っていれば、1秒で
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}=\mathrm{arcsinh}x$
となって、「以上終わり」だが、計算で求める備忘録。>昨日の記事

$x=\tan t$ とおくと、$dx=\frac{1}{\cos^2 t}dt$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}} =\int\frac{1}{\sqrt{\tan^2t+1}}\frac{1}{\cos^2 t}dt $
$\tan^2t+1=\frac{1}{\cos^2t}$ より、$\frac{1}{\sqrt{\tan^2t+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{\cos^2t}}}=\frac{1}{\frac{1}{\cos t}}=\cos t$ であるから、
$\int\frac{1}{\sqrt{\tan^2t+1}}\frac{1}{\cos^2 t}dt=\int\frac{\cos t}{\cos^2 t}dt$
$\cos^2 t=1-\sin^2 t$ なので、$s=\sin t$ とおくと、$ds=\cos t dt$ であるから、
$\int\frac{\cos t}{\cos^2 t}dt =\int\frac{\cos t}{1-\sin^2 t}dt =\int\frac{ds}{1-s^2} $

$\frac{1}{1-s^2}$の部分分数分解
$\frac{1}{1-s^2}=\frac{1}{(1-s)(1+s)}=\frac{a}{1-s}+\frac{b}{1+s}$
$1=a(a+s)+b(1-s)=(a-b)s*(a+b)$
係数比較で、$s$の係数 $a-b=0$, 定数項$a+b=1$より
$a=b=\frac{1}{2}$
したがって、
$\frac{1}{1-s^2}=\frac{\frac{1}{2}}{1-s}+\frac{\frac{1}{2}}{1+s}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right)$

よって、
$\int\frac{ds}{1-s^2} =\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-s}+\frac{1}{1+s}\right) dx =\frac{1}{2}\left(-\log|1-s|+\log|1+s|\right) =\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+s}{1-s}\right| $
$s=\sin t$より、
$\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+s}{1-s}\right| =\frac{1}{2}\log\left|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}\right| =\frac{1}{2}\log\left|\frac{(1+\sin t)(1+\sin t)}{(1-\sin t)(1+\sin t)}\right| =\log\left|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2 t}\right|^{\frac{1}{2}} =\log\left|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2 t}\right|^{\frac{1}{2}} =\log\left|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos^2 t}\right|^{\frac{1}{2}} =\log\left|\left(\frac{1+\sin t}{\cos t}\right)^2\right|^{\frac{1}{2}} =\log\left|\frac{1+\sin t}{\cos t}\right|$

ここからどうやって、$x=\tan t$ にもどすかというと、
$\log\left|\frac{1+\sin t}{\cos t}\right| =\log\left|\frac{1}{\cos t}+\frac{\sin t}{\cos t}\right| =\log\left|\sqrt{\frac{1}{\cos^2 t}}+\tan t\right| =\log\left|\sqrt{\tan^2 t+1}+\tan t\right| =\log|\sqrt{x^2+1}+x| =\log(\sqrt{x^2+1}+x) $
$\sqrt{x^2+1}+x>\sqrt{x^2}+x=|x|+x\ge0$ より絶対値が取れる。
「積分せよ」なら、ここで終えてよい。

さらに
$y=\log(\sqrt{x^2+1}+x)$ のとき、
$e^y=\sqrt{x^2+1}+x$
$e^y-x=\sqrt{x^2+1}$
両辺2乗して
$(e^y)^2-2xe^y+x^2=x^2+1$
$(e^y)^2-2xe^y-1=0$
両辺$e^y$で割って、
$e^y-2x-e^{-y}=0$
$x=\frac{e^{y}-e^{-y}}{2}$
$x=\sinh y$
よって、$y=\mathrm{arcsinh} x$

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