2021年6月4日金曜日

1+2+3+...=-1/12

1+2+3+...+10 = 55
とか。
公式があって、>以前の記事
\[1+2+3+...+n=\frac{1}{2}n(n+1)\]
なので、
1+2+3+...+100 = 100×101÷2 = 5050
当然 n→∞ のとき、
1+2+3+...→∞
のはず。

でも・・・
S = 1+2+3+4+5+6+7+...
4倍
4S = 4+8+12+...

 S = 1+2+3+4+5+6+7+...
4S = 0+4+0+8+0+12+0+...
一つおきに縦に引いて
S-4S = 1-2+3-4+5-6+7-...

つまり
-3S = 1-2+3-4+5-6+7-...

これをずらしてたてに足すと
-3S = 1-2+3-4+5-6+7-...
-3S = 0+1-2+3-4+5-6+...
-6S = 1-1+1-1+1-1+1-...
2つめから後ろをマイナスでくくると、
-6S = 1-1+1-1+1-1+1-...
   = 1-(1-1+1-1+1-1+1-...)
括弧の中は -6S なので、
-6S = 1-(-6S)
-6S = 1+6S
-12S = 1
S = -1/12

なので、
S = 1+2+3+4+5+6+7+... = -1/12

怪しい計算だが、解析接続。

Riemann のゼータ関数>以前の記事
\[\zeta(s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\cdots\]
において、
\[\zeta(-1)=\frac{1}{1^{-1}}+\frac{1}{2^{-1}}+\frac{1}{3^{-1}}+\cdots\]
\[=\frac{1}{\frac{1}{1}}+\frac{1}{\frac{1}{2}}+\frac{1}{\frac{1}{3}}+\cdots\]
\[=1+2+3+\cdots\]
となるが、解析接続で
\[\zeta(-1)=-\frac{1}{12}\]
であるので、>wolframalpha
\[1+2+3+\cdots=-\frac{1}{12}\]
が成り立つ。

0 件のコメント:

コメントを投稿

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.