2011年5月31日火曜日

複素数の双曲線関数

sinh(1+2i) の実部と虚部.

まず定義 $\sinh{x}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$ より,
$sinh{(1+2i)}=\frac{1}{2}(e^{1+2i}-e^{-(1+2i)})$
指数法則 $e^{a+b}=e^ae^b$ より,
$=\frac{1}{2}({e^1}e^{2i}-e^{-1}e^{-2i})$
オイラーの関係式$e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$より,
$=\frac{1}{2}({e^1}(\cos2+i\sin2) + e^{-1}(\cos(-2)+i\sin(-2)))$
三角関数の公式,sin(-x)=-sin(x).cos(-x)=cos(x)
$=\frac{1}{2}({e^1}(\cos2+i\sin2) + e^{-1}(\cos2-i\sin2))$
展開して,
$=\frac{1}{2}({e^1}\cos2+i{e^1}\sin2+e^{-1}\cos2-ie^{-1}\sin2)$
実部と虚部に分ける.
$=\frac{1}{2}({e^1}\cos2+e^{-1}\cos2+i{e^1}\sin2-ie^{-1}\sin2)$
それぞれくくりだす.
$=\frac{1}{2}(({e^1}+e^{-1})\cos2+i({e^1}-e^{-1})\sin2)$
$=\frac{1}{2}({e^1}+e^{-1})\cos2)+i\frac{1}{2}({e^1}-e^{-1})\sin2)$
定義 $\cosh{x}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$ より,
$=\cosh1\cos2+i\sinh1\sin2$
Wolfram Alpha (Alternate form: cos(2) sinh(1)+i sin(2) cosh(1))

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