2011年3月24日木曜日

数列

質問された,群数列.
数列の問題は,パターンを覚えて,それを適用するものが多いので,「何かうまい方法は?」のような聞かれ方をすることが多い.
たぶん群数列にはそうしたパターンが無いと思う.地道に考えるしかない.
逆に出題側としては,「パターン処理ではない力を見る」という観点で,こうした問題を出すことが多いのだろうな.


自然数の列を,3個,6個,9個,・・・ずつ組にする.
1,2,3, | 4,5,6,7,8,9, | 10,11,12,13,14,15,16,17,18, | 19, 20, 21, ・・・
このとき,

(1) 第n組の先頭の数字を求めよ.

1組の先頭,1,
2組の先頭,4,
3組の先頭,10,
4組の先頭,19,
より,先頭の数字の数列は,
1,4,10,19,・・・
階差数列は 3,6,9,・・・
より一般項 3n
よって,n≧2のときn組の先頭の数字は
1+Σ[項数n-1]3k= 1+ 3Σk = 1+3n(n-1)/2 = (3n^2-3n+2)/2
初項は 1 だから,n=1でも満たし,
n≧1のときn組の先頭の数字は (3n^2-3n+2)/2

(2) 第n組に含まれる自然数の和を求めよ.

n組に含まれる数列は等差数列で,
初項は,(3n^2-3n+2)/2,公差は1,項数は3n より,
その和は
((3n^2-3n+2)/2 + (3n^2-3n+2)/2+(3n-1)×1)×(3n)/2
=3n(3n^2-2n+2)/2

(2) 第n組までの和を求めよ.

1組の項数 3,
2組の項数 6より,2組までの項数9=3(1+2),
3組の項数 9より,3組までの項数18=3(1+2+3),
4組の項数 12より,4組までの項数30=3(1+2+3+4),
なので,n組までの項数 3(1+2+3+・・・+n)=3n(n+1)/2
1から,3n(n+1)/2 までの自然数の和は,
(3n(n+1)/2)(3n(n+1)/2 +1)/2
=3n(n+1)(3n^2+3n+2)/8

(4) 1000は第何組の何番目に現れるか.

n組の先頭の数字 (3n^2-3n+2)/2
が1000を超えないのは,
(3n^2-3n+2)/2< 1000 3n^2-3n+2< 2000 3n^2-3n<1998 n(n-1)<666 27・26=702>666,
26・25=650<666
より,
26組の先頭の数字 (3n^2-3n+2)/2=976 で,
26組の項数は 3×26 = 78 より,27組の先頭が 976+78=1054 だから,
1000は26組に含まれ,26組の 1000-975=25 番目に現れる.

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