2011年2月16日水曜日

正確な図

入試の最後の問題.

三角形GBEとFCAが相似であることを証明した後,3辺の長さが8,5,7 のときのGBEとFCAの面積比を求める問題.
答えは48:25(相似比は4√3:5≒6.92:5)であるが,問題図を見るとそんな倍ほどの違いがない.もちろん,3辺が正確に8,5,7で描かれているわけでは無いからであるが.(証明が把握しやすい図になっている)

ということで,正確に描いてみた.

これなら48:25で納得w

求め方の手順は,三平方の定理より,
  BE^2 = AB^2-AE^2 = BC^2-CE^2 だから,
  7^2-AE^2 = 8^2-(5-AE)^2, AE = 1, CE = 4
直角三角形 BCE は,BC:CE = 8:4 より,EB = 4√3 (ちなみに∠CBE=30度 とわかる.)
さらに,直角三角形 BCE,BFD,BFE は相似だから,AE:AF = BE:BC = √3:1
AE = 1 より,AF = 2/√3

三角形AGE,ABC は相似で,AE:GE = AC:BC = 5:8 で,AE = 1 より,GE = 8/5
よって,相似比は,
  GE:AF = (8/5):(2/√3)
面積比は
  GE^2:AF^2 = (64/25):(4/3) = 48:25

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