2010年10月1日金曜日

極形式

1. $\sqrt{2}+1+i$
2. $1+(\sqrt{3}+2)i$

極形式は
絶対値×(cos偏角 + i sin偏角)
なので,絶対値を求め,偏角を計算する.
複素数の絶対値は,√((実部)^2+(虚部)^2)で,元の複素数を絶対値でくくり出せば,実部が cos偏角,虚部が sin偏角 となる.

1. 実部 $\sqrt{2}+1$,虚部は虚数単位 i の係数 1.
この複素数の絶対値は,√((実部)^2+(虚部)^2) だから,$\sqrt{(\sqrt{2}+1)^2+1^2}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$
これで,元の複素数をくくる.
  $\sqrt{2}+1+i=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}+i\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\right)$
つまり $\sqrt{4+2\sqrt{2}}$ でくくられた後ろの複素数の
実部は $\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\cos\theta$
虚部は $\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}=\sin\theta$
となるθを求めればよい.

実部
$\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\\
=\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}}\\
=\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}}\\
=\sqrt{\frac{\sqrt{2}+1}{2\sqrt{2}}}\\
=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}\\
=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}
=\cos\frac{\pi}{8}
$


虚部
$\frac{1}{\sqrt{4+2\sqrt{2}}}\\
=\sqrt{\frac{1}{4+2\sqrt{2}}}\\
=\sqrt{\frac{1}{2\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}}\\
=\sqrt{\frac{\sqrt{2}-1}{2\sqrt{2}(2-1)}}\\
=\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}
=\sin\frac{\pi}{8}
$

よって,極形式は
$\sqrt{2}+1+i=\sqrt{4+2\sqrt{2}}\left(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8}\right)
$

2.実部 1,虚部$\sqrt{3}+2$ より絶対値は
$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}+2)^2}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}$
よって,
$\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\cos\theta$
$\frac{\sqrt{3}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\sin\theta$
となる偏角θを求める.

実部
$\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\
=\sqrt{\frac{1}{4(2+\sqrt{3})}}\\
=\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4(4-3)}}\\
=\sqrt{\frac{1+\frac{-\sqrt{3}}{2}}{2}}\\
=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{5\pi}{6}}{2}}\\
=\cos\frac{5\pi}{12}
$

虚部
$\frac{\sqrt{3}+2}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}}\\
=\sqrt{\frac{(2+\sqrt{3})^2}{4(2+\sqrt{3})}}\\
=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4}}\\
=\sqrt{\frac{1-\frac{-\sqrt{3}}{2}}{2}}
=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{5\pi}{6}}{2}}
=\sin\frac{5\pi}{12}
$

よって,極形式は
$1+(\sqrt{3}+2)i=2\sqrt{2+\sqrt{3}}\left(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12}\right)
$

どちらも,半角公式に持ち込むわけだが,そんなことに気づくのは,絶対値が2重根号だから.
幾何学的には,半角は√の計算だからである.(半角公式もそうなっている.)

でも,それに気づいたらな,先に,絶対値を求めるのではなく,元の複素数を2乗して絶対値と偏角を求め,そこからその平方根を de Moivre の定理で求めるほうが見通しがよいだろう.

1.
$(\sqrt{2}+1+i)^2 \\
=2(1+\sqrt{2}) + i 2(1+\sqrt{2}) \\
=2(1+\sqrt{2})(1+i) \\
=2(1+\sqrt{2})\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}) \\
=(2\sqrt{2}+4)(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}) \\
$
この平方根は,絶対値が平方根で,偏角は半分で,
$\sqrt{2\sqrt{2}+4}(\cos\frac{\pi}{8}+i\sin\frac{\pi}{8})$

2. $(1+(\sqrt{3}+2)i)^2 =(-6-4\sqrt{3})+i(4+2\sqrt{3})$
の絶対値は,
$\sqrt{(-6-4\sqrt{3})^2+(4+2\sqrt{3})^2}=2\sqrt{28+16\sqrt{3}}=4\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}=4(2+\sqrt{3})$
より,
$(1+(\sqrt{3}+2)i)^2 \\
=(-6-4\sqrt{3})+i(4+2\sqrt{3})\\
=4(2+\sqrt{3})\left(\frac{-6-4\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}+i\frac{4+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}\right)\\
=4(2+\sqrt{3})\left(\frac{-\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\right)\\
=4(2+\sqrt{3})(\cos\frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6})
$
よって,求める極形式は,絶対値がルートで,偏角は半分.
$2\sqrt{2+\sqrt{3}}(\cos\frac{5\pi}{12}+i\sin\frac{5\pi}{12})$

こっちの計算が簡単.

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