2010年7月26日月曜日

行列の対角化と漸化式

漸化式が
$x_{n+1}=6x_n-y_n-z_n$
$y_{n+1}=4x_n-8y_n+8z_n$
$z_{n+1}=4x_n-7y_n+7z_n$
のとき,$y_n$,$z_n$ を n の式で表せ.

解答
漸化式を縦ベクトルと行列で表せば,
$\left(\matrix{x_{n+1} \cr y_{n+1} \cr z_{n+1}}\right)=
\left(\matrix{6 & -1 & -1 \cr 4 & -8 & 8 \cr 4 & -7 & 7}\right)
\left(\matrix{x_{n} \cr y_{n} \cr z_{n}}\right)$
である.ここで,
$A=\left(\matrix{6 & -1 & -1 \cr 4 & -8 & 8 \cr 4 & -7 & 7}\right)$
とすれば,与えられた漸化式は,
$X_{n+1}=AX_{n}$
であるから,
$X_2=AX_1$
$X_3=AX_2=A(AX_1)=A^2X_1$
$X_4=AX_3=A(A^2X_1)=A^3X_1$
$X_5=AX_4=A(A^3X_1)=A^4X_1$
より,
$X_{n+1}=A^nX_1$
であるから,行列  $A^n$をn の式で表せばよい.
それには,係数行列Aの固有値と固有ベクトルを求める.固有値と固有ベクトルの求め方は長くなるので省略.

Aの固有値 4, 2, -1,
固有ベクトルは,
$\left(\matrix{1 \cr 1 \cr 1}\right)$,$\left(\matrix{1 \cr 2 \cr 2}\right)$,$\left(\matrix{1 \cr 4 \cr 3}\right)$
なので,
$P=\left(\matrix{1 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 4 \cr 1 & 2 & 3}\right)$
とすれば,
$P^{-1}=\left(\matrix{2 & 1 & -2 \cr -1 & -2 & 3 \cr 0 & 1 & -1}\right)$
より,
$B=P^{-1}AP
=\left(\matrix{4 & 0 & 0 \cr 0 & 2 & 0 \cr 0 & 0 & -1}\right)$
と対角化できる.(対角成分は固有値である.)

ここで,
$B^2=\left(\matrix{16 & 0 & 0 \cr 0 & 4 & 0 \cr 0 & 0 & 1}\right)$
$B^3=\left(\matrix{64 & 0 & 0 \cr 0 & 8 & 0 \cr 0 & 0 & -1}\right)$
$B^4=\left(\matrix{256 & 0 & 0 \cr 0 & 16 & 0 \cr 0 & 0 & 1}\right)$
なので,
$B^n=\left(\matrix{4^n & 0 & 0 \cr 0 & 2^n & 0 \cr 0 & 0 & (-1)^n}\right)$
となる.

$B=P^{-1}AP$より,
$B^n=(P^{-1}AP)^n \\
=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\ \cdots\ (P^{-1}AP) \\
=P^{-1}APP^{-1}APP^{-1}AP\ \cdots\ P^{-1}AP \\
=P^{-1}AEAEAE\ \cdots\ EAP \\
=P^{-1}A^nP
$
よって,
$A^n=PB^nP^{-1} \\
=\left(\matrix{1 & 1 & 1 \cr 1 & 2 & 4 \cr 1 & 2 & 3}\right)\left(\matrix{4^n & 0 & 0 \cr 0 & 2^n & 0 \cr 0 & 0 & (-1)^n}\right)\left(\matrix{2 & 1 & -2 \cr -1 & -2 & 3 \cr 0 & 1 & -1}\right)\\
=\left(\matrix{2\cdot4^n - 2^n & 4^n - 2\cdot2^n + (-1)^n & -2\cdot4^n + 3\cdot2^n - (-1)^n \cr 2\cdot4^n - 2\cdot2^n & 4^n - 4\cdot2^n + 4\cdot(-1)^n & -2\cdot4^n + 6\cdot2^n - 4\cdot(-1)^n \cr 2\cdot4^n - 2\cdot2^n & 4^n - 4\cdot2^n + 3\cdot(-1)^n & -2\cdot4^n + 6\cdot2^n - 3\cdot(-1)^n}\right)$

$X_{n+1}=A^nX_{1}$なので,$X_{n}=A^{n-1}X_{1}$ より,
$\left(\matrix{x_{n} \cr y_{n} \cr z_{n}}\right)\\ =
\left(\matrix{2\cdot4^{n-1} - 2^{n-1} & 4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} + (-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 3\cdot2^{n-1} - (-1)^{n-1} \cr 2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} & 4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 4\cdot(-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 4\cdot(-1)^{n-1} \cr 2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} & 4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 3\cdot(-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 3\cdot(-1)^{n-1}}\right)\left(\matrix{x_{1} \cr y_{1} \cr z_{1}}\right)$

$\left(\matrix{x_{n} \cr y_{n} \cr z_{n}}\right)=
\left(\matrix{2\cdot4^{n-1} - 2^{n-1} & 4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} + (-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 3\cdot2^{n-1} - (-1)^{n-1} \cr 2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} & 4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 4\cdot(-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 4\cdot(-1)^{n-1} \cr 2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} & 4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 3\cdot(-1)^{n-1} & -2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 3\cdot(-1)^{n-1}}\right)\left(\matrix{x_{1} \cr y_{1} \cr z_{1}}\right)$
ゆえに,
$x_n=(2\cdot4^{n-1} - 2^{n-1})x_1+(4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1} + (-1)^{n-1})y_1+(-2\cdot4^{n-1} + 3\cdot2^{n-1} - (-1)^{n-1})z_1
$
$y_n=( 2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1})x_1+(4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 4\cdot(-1)^{n-1})y_1+(-2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 4\cdot(-1)^{n-1})z_1
$
$z_n=(2\cdot4^{n-1} - 2\cdot2^{n-1})x_1+(4^{n-1} - 4\cdot2^{n-1} + 3\cdot(-1)^{n-1})y_1+(-2\cdot4^{n-1} + 6\cdot2^{n-1} - 3\cdot(-1)^{n-1})z_1
$

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