2009年9月28日月曜日

√(1+x^2) の積分

これは,放物線の長さを計算しようとすると出てくる積分.
$x=\tan\theta$,$dx=\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$ より
$\int\sqrt{1+x^2}\,dx$
  $=\int\sqrt{1+\tan^2\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$
$=\int\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$
$=\int\frac{1}{\cos\theta}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$
$=\int\frac{1}{\cos^3\theta}\,d\theta$
$=\int\frac{\cos\theta}{\cos^4\theta}\,d\theta$
$=\int\frac{\cos\theta}{(\cos^2\theta)^2}\,d\theta$
$=\int\frac{1}{(1-\sin^2\theta)^2}\cos\theta\,d\theta$
$\sin\theta=t$,$\cos\theta d\theta=dt$ より
$=\int\frac{1}{(1-t^2)^2}dt$
$=\int\frac{1}{(t^2-1)^2}dt$
部分分数に分解
$\frac{1}{(t^2-1)^2}=\frac{1}{((t+1)(t-1))^2}=\frac{a}{t+1}+\frac{b}{(t+1)^2}+\frac{c}{t-1}+\frac{d}{(t-1)^2}$
の分母を払うと,
$1=a(t+1)(t-1)^2+b(t-1)^2+c(t-1)(t+1)^2+d(t+1)^2$
$1=(a+c)t^3+(-a+b+c+d)t^2+(-a-2b-c+2d)t+(a+b-c+d)$
係数比較で
$a+c=0,\ -a+b+c+d=0,\ -a-2b-c+2d,\ a+b-c+d=1$
$a=\frac{1}{4},\ b=\frac{1}{4},\ c=-\frac{1}{4},\ d=\frac{1}{4}$
ゆえに
$\frac{1}{(t^2-1)^2}=\frac{\frac{1}{4}}{t+1}+\frac{\frac{1}{4}}{(t+1)^2}+\frac{-\frac{1}{4}}{t-1}+\frac{\frac{1}{4}}{(t-1)^2}$
よって,
$\int\frac{1}{(t^2-1)^2}dt$
$=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{t+1}+\frac{1}{(t+1)^2}+\frac{-1}{t-1}+\frac{1}{(t-1)^2}\right)dt$
$=\frac{1}{4}\left(\log|t+1|-\frac{1}{t+1}-\log|t-1|-\frac{1}{t-1}\right)$
$=\frac{1}{4}\left(-\frac{2t}{t^2-1}+\log|1+t|-\log|1-t|\right)$
$=\frac{1}{4}\left(\frac{2t}{1-t^2}+\log\frac{|1+t|}{|1-t|}\right)$
$\frac{1}{4}\left(\frac{2\sin\theta}{1-\sin^2\theta}+\log\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right)$
$=\frac{1}{4}\left(\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}+\log\frac{(1+\sin\theta)(1+\sin\theta)}{(1-\sin\theta)(1+\sin\theta)}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\frac{1}{\cos\theta}+\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\tan\theta\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}+\frac{1}{2}\log\frac{(1+\sin\theta)^2}{\cos^2\theta}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\tan\theta\sqrt{1+\tan^2\theta}+\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\left(\frac{1}{\cos\theta}+\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\left(\sqrt{\frac{1}{\cos^2\theta}}+\tan\theta\right)\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\left(\sqrt{1+\tan^2\theta}+\tan\theta\right)\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\right)$

log(x+√(1+x^2)=arcsinh x に直せる.
$y=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$ の逆関数は両辺を$2e^x$倍して
$2e^x y=e^{x}e^{x}-e^{x}e^{-x}=(e^{x})^2-1$
すべて左辺に移項して$e^x$の2次方程式
$(e^x)^2-2ye^x-1=0$
をとくと,
$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$
よって,
$x=\log(y+\sqrt{y^2+1})$
だから,$\sinh$の逆関数は
$y=\rm{arcsinh} x=\log(x+\sqrt{x^2+1})$

したがって,
$\int\sqrt{1+x^2}\,dx$
$=\int\frac{1}{\cos^3\theta}\,d\theta$
$=\int\frac{1}{(1-t^2)^2}\,dt$
$=\frac{1}{4}\left(\frac{2t}{1-t^2}+\log\frac{|1+t|}{|1-t|}\right)$
$=\frac{1}{2}\left(\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta}+\log\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right)=\frac{\sin\theta}{2\cos^2\theta}+\rm{arctanh}\left(\tan\frac{\theta}{2}\right)$
参考
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\log\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)\right)$
$=\frac{1}{2}\left(x\sqrt{1+x^2}+\rm{arcsinh} x\right)$

>>積分の記事

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