2009年7月11日土曜日

内積

定義は,
大きさ×大きさ×コサイン
・・・だからこれが何?

ベクトル$\vec{a}$の大きさが3で,$\vec{b}$の大きさが4で,なす角が$\theta=135^\circ$だと,
$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta=3\times4\times\cos135^\circ = -6\sqrt{2}$
というもの.・・・その数字は何だ?

この定義から,成分表示$\vec{a}=(1,-2),\ \vec{b}=(3,4)$のベクトルの内積
$\vec{a}\cdot\vec{b} = (1,-2)\cdot(3,4) = 1\times3+(-2)\times4 = -5$
の公式を導くのに,三角比で出てくる余弦定理を用いる.
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

余弦定理は長くて覚えづらいけれど,よく見ると,前半の
$c^2 = a^2 + b^2$
は三平方の定理である.つまり余弦定理は三平方の定理を直角三角形以外に拡張した式である.
で,後ろの,$ - 2ab\cos C$ の部分.これは,
$ - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos C$
と思えば,内積$\vec{a}\cdot\vec{b}$ そのものである.
つまり余弦定理は
三平方の定理,引く,2倍の内積
といえる.

実際,成分表示の公式を導くときは,$c = |\vec{b}-\vec{a}|$ であることから,
$|\vec{b}-\vec{a}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a}\cdot\vec{b}$
に,成分を代入して計算する.

さて,計算はできるようになるし,問題は解けるし,内積を使うと長さや角度に関して,非常に応用が広がるのだけれど,
「内積ってなんですか?」
というのが困る.いや,答えはあるのだが,高校では習わないことだから.
「大きさ×大きさ×コサイン だよ」
と定義を答えるしかない.

はじめに定義「大きさ×大きさ×コサイン」で計算しているうちはまだしも,成分で,
$(1,-2)\cdot(3,4) = 1\times3+(-2)\times4 = -5$
を計算して,
「-5 って何ですか?」
と聞かれても,
「大きさ×大きさ×コサイン だよ」
と定義を答えるしかない.

内積の意味を説明するには,力学の「仕事」とか,電磁気学の「力率」とか,統計学の相関係数とかあるけれど,高校生には無理.

でも,先日は力率の話をしてしまった.(力率という言葉は言わない)
「普通,電圧と電流の位相がちょっとずれてて,実際の消費電力は電圧と電流のベクトルに位相のずれのコサインをかけたもの.つまり内積になる.消費しなかった電力は発電機をまわすのに使われる,つまり,発電所に戻る.」
「全部戻ることもあるの?」
「実際は,戻るのが最小になるように,機械を設計するけどね.でも,1000Wの機械だから10Aで大丈夫だろうと思うと,戻る分が多いと,実際は12Aくらい流れていて,ブレーカーが落ちたりする.」

もし,つなげるのが純粋なリアクタンス成分(抵抗のない電線につながったコイルやコンデンサ)なら,消費電力0はありうる.
たとえば,1μFのコンデンサは50Hzなら3kΩくらいだから,100Vのコンセントに突っ込むと,30mAくらいの電流が流れる.
100Vの直流で30mAなら,3Wくらいの電力消費になる.そんな発熱ならコンデンサは焼けそうだが,コンデンサは発熱しない.
コンデンサは,電圧が上がるときは充電して,下がるときに放電しているだけで,エネルギーは消費していない(熱くならない)のである.電源の電圧が下がるときに,逆向きに電流が流れるから,電圧に対し電流の位相が90度進む.

90度進むということは,コサイン90度=0 だから力率0で,消費電力0となる.
つまり
「流れているけど,電力消費なし」
という状態.
もうすこし,細かく言うと,普通の抵抗器は電圧と電流の位相が一致しているので,各瞬間の電力は
E sin t × I sin t = EI(sin t)^2
となり,常に0以上の値を持つから,電力は消費するのみ.
電圧と電流の位相が90度ずれている純粋のリアクタンスの場合,各瞬間の電力は
E sin t × I sin(t+90度) = EI(sin t)(cos t) = (1/2)EI sin2t
tが0度から90度の間の電力は正なので,リアクタンスに流入する電力.
tが90度から180度の間の電力は負なので,リアクタンスから電源に「戻る」電力.
sin は時間軸について対称だから流入する電力と戻る電力は同じとなり,全体として,電力は消費しない.
もちろん,それだと,「電力を使っていないのに,電線などの設備を無駄に使っている状態」といえるから,できるだけ力率が上がるように送電や機器を工夫する.

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