2009年5月29日金曜日

1/cos x の積分

基礎的な問題・・・なのだけれどちょっと気になること.
$\int\frac{1}{\cos x}dx \\ =\int \frac{\cos x}{\cos^2 x} dx \\ =\int \frac{\cos x}{1-\sin^2 x} dx$
ここで $t=\sin x$ とおけば,$dt=\cos x \,dx$ より,
  $\int \frac{1}{1-t^2} dt$

ここで, $\frac{1}{1-t^2}$ を部分分数分解.
$\frac{1}{1-t^2} =\frac{1}{(1+t)(1-t)} = \frac{a}{1+t}+\frac{b}{1-t}$
を満たす $a,\ b$ を求める.両辺の分母をはらって,
$\frac{(1+t)(1-t)}{(1+t)(1-t)} = \frac{a(1+t)(1-t)}{1+t}+\frac{b(1+t)(1-t)}{1-t}$
$1 = a(1-t)+b(1+t) = a-at+b+bt \\ =(-a+b)t+(a+b)$
係数比較で,
$-a+b=0,\ a+b=1$
この連立方程式を解くと,
$\frac{1}{2},\ b=\frac{1}{2}$
よって,
$\frac{1}{1-t^2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)$
より
$\int \frac{1}{1-t^2}dt = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}\right)dt \\ =\frac{1}{2}\left(\log(1+t)-\log(1-t)\right) \\ =\frac{1}{2}\log\frac{1+t}{1-t} \\ =\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$
これが答えでいいのだが.

Mathematica にやらせると,
$2\rm{arctanh}(\tan\frac{x}{2}$
という答えを返す.>Wolfram Mathematica Online Integrator
arctanh は双曲三角の逆関数である.気になったので,同じになるまで変形してみる.
以前書いた記事のとおり,
$\rm{arctanh}(x)=\frac{1}{2}\log\frac{1+x}{1-x}$
なので,
$\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = \rm{arctanh}\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$
にはすぐになる.ということは,
$\frac{1+\sin x}{1-\sin x}$

$\tan\frac{x}{2}$
で表せるということなのだろう.実際次のように変形できる.
$\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \\ = \frac{(1+\sin x)(1+\sin x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)} \\ = \frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x} \\ = \frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x} \\ = \left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2$
ここで,倍角公式
$\sin2x=2\sin x\cos x,\ \cos2x=\cos^2 x-\sin^2 x$ より,
$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2},\ \cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}$
を用いて,
$\left(\frac{1+\sin x}{\cos x}\right)^2 \\ = \left(\frac{1+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left(\frac{\left(\sin^2\frac{x}{2}+\cos^2\frac{x}{2}\right)+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left(\frac{\cos^2\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\sin^2\frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left( \frac{\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)^2}{\left(\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}\right)\left(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}\right)}\right)^2 \\ = \left( \frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}\right)^2 \\ = \left( \frac{\frac{\cos\frac{x}{2}+\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{\frac{\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ = \left( \frac{1+\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}{1-\frac{\sin\frac{x}{2}}{\cos\frac{x}{2}}}\right)^2 \\ = \left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \right)^2$
したがって,
$\frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \\ = \frac{1}{2}\log\left(\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \right)^2 \\ =2\cdot\frac{1}{2}\log\frac{1+\tan\frac{x}{2}}{1-\tan\frac{x}{2}} \\ =2\rm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)$
となる.つまり
$\int\frac{1}{\cos x}dx = \frac{1}{2}\log\frac{1+\sin x}{1-\sin x} = 2\rm{arctanh}\left(\tan\frac{x}{2}\right)$

積分の記事

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