2009年2月18日水曜日

数列の極限

n→∞のときの,こんなの.
$\frac{1}{7^n}( 1\cdot1+2\cdot6+3\cdot6^2+4\cdot6^3+ \\ \,\cdots\, +(n-3)\cdot6^{(n-4)}+(n-2)\cdot6^{(n-3)})$

等差数列×等比数列の和は,
等比数列の公比 6 の累乗×多項式
となり,それを7の累乗で割れば,
6/7 の累乗×多項式
である.6/7 の累乗の極限は0で,それにいくらでかい多項式をかけても,指数関数が勝つから,この極限は0であることは明白であるが,証明.(つまり多項式時間と指数時間は指数時間が勝ちということ.)

$S=1\cdot1+2\cdot6+3\cdot6^2+4\cdot6^3+\,\cdots\, +(n-3)\cdot6^{n-4}+(n-2)\cdot6^{n-3}$
とすると,
  $6S=1\cdot6+2\cdot6^2+3\cdot6^3+4\cdot6^4+\,\cdots\, +(n-3)\cdot6^{n-3}+(n-2)\cdot6^{n-2}$

S-6S を計算する.つまり公比倍して引き算というのがこの手の数列の解法.
引き算の相手は,6の指数が同じもの同士である.すると,6Sの末項と,Sの初項が引く相手がなく,そのまま残り,
$S-6S=1\cdot1+(2-1)\cdot6+(3-2)\cdot6^2+(4-3)\cdot6^3+\,\cdots\,\\ +((n-2)-(n-3))\cdot6^{n-3}-(n-2)\cdot6^{n-2}$
$-5S=1+6+6^2+6^3+\, \cdots\, +6^{n-3}-(n-2)\cdot6^{n-2}$

この式の末項の前までの数列は,初項1,公比6,項数n-2 の等比数列だから,
$-5s=\frac{1({6^{n-2}-1})}{6-1}-(n-2)\cdot6^{n-2} = \frac{36({6^{n-2}-1})}{36\cdot5}-(n-2)\cdot\frac{36\cdot6^{n-2}}{36} \\ = \frac{6^{n}-36}{180}-\frac{(n-2)\cdot6^{n}}{36} \\ = \frac{1}{180}\left(-5n\cdot6^n+11\cdot6^n-36\right) $
よって,
$S=\frac{1}{900}\left(5n\cdot6^n-11\cdot6^n+36\right)$

より,もとの式は,
$ =\frac{1}{900}\left(5n(\frac{6}{7})^n-11(\frac{6}{7})^n+36(\frac{1}{7})^n\right)$
ここで,各項の極限を考える.最初の項はロピタルの定理 $\lim\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$
より,
$=\lim_{n\to\infty}\frac{5n}{(\frac{7}{6})^n} =\lim_{n\to\infty}\frac{(5n)'}{\left((\frac{7}{6})^n\right)'} =\lim_{n\to\infty}\frac{5}{(\frac{7}{6})^n\log\frac{7}{6}} \\ =\frac{5}{\log\frac{7}{6}}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(\frac{7}{6})^n} = \frac{5}{\log\frac{7}{6}}\lim_{n\to\infty}(\frac{6}{7})^n = \frac{5}{\log\frac{7}{6}} \times 0 =0 $
次の2つの項の極限が0であることは明らかだから,
n→∞のとき,
$\frac{1}{7^n}( 1\cdot1+2\cdot6+3\cdot6^2+4\cdot6^3+ \\ \,\cdots\, +(n-3)\cdot6^{(n-4)}+(n-2)\cdot6^{(n-3)})\\ \to 0$

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