2008年12月3日水曜日

1 / (a+b tan x) の積分

本日の無酸素計算
$=\frac{1}{a+b \frac{\sin x}{\cos x}} \\ =\frac{\cos x}{a \cos x +b \sin x} \\ =\frac{(a^2 + b^2) \cos x}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a^2 \cos x+ b^2 \cos x}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a^2 \cos x + ab\sin x -ab\sin x + b^2 \cos x}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a^2 \cos x + ab\sin x }{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)}+\frac{-ab\sin x + b^2 \cos x}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a(a \cos x + b\sin x )}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)}+\frac{b(-a\sin x + b \cos x)}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a}{a^2 + b^2}+\frac{b(-a\sin x + b \cos x)}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a}{a^2 + b^2}+\frac{b(a(-\sin x ) + b \cos x)}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a}{a^2 + b^2}+\frac{b(a(\cos x)' + b(\sin x)')}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{a}{a^2 + b^2}+\frac{b(a\cos x + b \sin x)'}{(a^2 + b^2)(a \cos x +b \sin x)} \\ =\frac{1}{a^2 + b^2}(a+b\frac{(a\cos x + b \sin x)'}{(a \cos x +b \sin x)})$


$=\int\frac{1}{a^2 + b^2}(a+b\frac{(a\cos x + b \sin x)'}{(a \cos x +b \sin x)})dx\\ = \frac{a x + b \log(a\cos x + b \sin x)}{a^2 + b^2}$
ちょっとズルイ・・・

>>積分の記事

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