2008年11月15日土曜日

ハイパボリック・・・

メタボじゃなくて,双曲三角関数関係の話題.>その由来に触れた記事

$\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
$\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$
$\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
などと定義されているもの.

基本性質.
$\cosh^2-\sinh^2=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2-\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}-\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4}\\=1$
この両辺を$\cosh^2$で割れば,
 $1-\frac{\sinh^2}{\cosh^2}=\frac{1}{\cosh^2}$
より
$1-\tanh^2=\frac{1}{\cosh^2}$

逆関数関係
$y=\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$
の逆関数は両辺を$2e^x$倍して,
$2e^x y=e^xe^x-e^x e^{-x}=(e^x)^2-1$
すべて左辺に移項して$e^x$の2次方程式
$(e^x)^2-2ye^x-1=0$
をとくと,
$e^x=y+\sqrt{y^2+1}$
よって,
$x=\log(y+\sqrt{y^2+1})$
だから,$\sinh$の逆関数は
$y=\rm{arcsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
同様に,
$y=\rm{arccosh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2-1})$
$y=\rm{arctanh}(x)=\log\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$


微分関係
$\sinh(x)'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{(e^x)'-(e^{-x})'}{2}=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\=\cosh(x)$
$\cosh(x)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{(e^x)'+(e^{-x})'}{2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\=\sinh(x)$
$\tanh'=\left(\frac{\sinh}{\cosh}\right)'=\frac{\sinh'\cosh-\sinh\cosh'}{\cosh^2}=\frac{\cosh\cosh-\sinh\sinh}{\cosh^2}\\=\frac{1}{\cosh^2}=1-\tanh^2$


逆関数の微分
$y=\rm{arcsinh}(x)$
のとき,
$x=\sinh(y)$
$\frac{dx}{dy}=\cosh(y)=\sqrt{\sinh(y)^2+1}=\sqrt{x^2+1}$
$\frac{dy}{dx}=(\rm{arcsinh}(x))'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
同様に,
$(\rm{arccosh}(x))'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\rm{arctanh}(x))'=\frac{1}{1-x^2}$
逆にこれらの積分が,逆双曲三角になるといえる.
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx=\rm{arcsinh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2+1})$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\rm{arccosh}(x)=\log(x+\sqrt{x^2-1})$
$\int\frac{1}{1-x^2}dx=\rm{arctanh}(x)=\frac{1}{2}(\log(-x-1)-\log(x-1))$

これらを組み合わせて 1/(1-sinh^2) の積分を計算してみる.>以前の記事
$\int\frac{1}{1-\sinh^2}dx$
基本性質 $1=\cosh^2-\sinh^2$ より,
$= \int\frac{1}{(\cosh^2-\sinh^2)-\sinh^2}dx \\ = \int\frac{1}{\cosh^2-2\sinh^2}dx $
$1=\frac{\cosh^2}{\cosh^2}$ より,
$ = \int\frac{1}{\cosh^2-2\sinh^2\cdot\frac{\cosh^2}{\cosh^2}}dx \\ = \int\frac{1}{\cosh^2-2\frac{\sinh^2}{\cosh^2}\cosh^2}dx$
$\frac{\sinh}{\cosh}=\tanh$ より,
$ = \int\frac{1}{\cosh^2-2\tanh^2\cosh^2}dx$
$\cosh^2$ でくくって,
$=\int\frac{1}{1-2\tanh^2}\cdot\frac{1}{\cosh^2}dx$
$t=\sqrt{2}\tanh(x)$とおけば,$dt=\sqrt{2}\frac{1}{\cosh^2}dx$より
$= \frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{1}{1-t^2}dt $
積分の公式により,
$ = \frac{1}{\sqrt{2}}\rm{arctanh} t \\ = \frac{1}{\sqrt{2}}\rm{arctanh}(\sqrt{2}\tanh(x))$

これで答えでよいが,あえて対数や指数に書き直してみれば,
$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
$\rm{arctanh} x=\frac{1}{2}(\log(-x-1)-\log(x-1))$
に代入して,
$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left(-\sqrt{2}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}-1\right)-\log\left(\sqrt{2}\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}-1\right)\right) \\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left(\frac{\frac{-\sqrt{2}e^{x}+\sqrt{2}e^{-x}-e^{x}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}{\frac{\sqrt{2}e^{x}-\sqrt{2}e^{-x}-e^{x}-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}}\right)\right)\\ =\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left(\frac{{-\sqrt{2}e^{x}+\sqrt{2}e^{-x}-e^{x}-e^{-x}}}{{\sqrt{2}e^{x}-\sqrt{2}e^{-x}-e^{x}-e^{-x}}}\right)\right)$
分母分子に$e^x$をかけて,
$=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left(\frac{{-\sqrt{2}e^{2x}+\sqrt{2}-e^{2x}-1}}{{\sqrt{2}e^{2x}-\sqrt{2}-e^{2x}-1}}\right)\right) \\ = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left({-\sqrt{2}e^{2x}+\sqrt{2}-e^{2x}-1}\right)-\log\left({\sqrt{2}e^{2x}-\sqrt{2}-e^{2x}-1}\right)\right) \\ = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log\left(({-\sqrt{2}-1)e^{2x}+\sqrt{2}-1}\right)-\log\left({(\sqrt{2}-1)e^{2x}-\sqrt{2}-1}\right)\right) $
係数の簡略化のために積分定数を加える.
$= \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log(-\sqrt{2}+1)+\log\left(({-\sqrt{2}-1)e^{2x}+\sqrt{2}-1}\right)\right.\\ \left.\hspace{10mm}-\log(\sqrt{2}+1)-\log\left({(\sqrt{2}-1)e^{2x}-\sqrt{2}-1}\right)\right)\\ = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(\log(e^{2x}-3+2\sqrt{2})-\log(e^{2x}-3-2\sqrt{2}+1)\right) $

>>積分の記事

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