2008年7月17日木曜日

(x^2+1)/(x^3+1)の積分

検索語より.

$\frac{x^2+1}{x^3+1}=\frac{x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)}$ を部分分数に分解する.
$\hspace{5mm}\frac{x^2+1}{(x+1)(x^2-x+1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
の両辺を $x^3+1$ 倍して,
$\hspace{5mm}x^2+1=a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1)\\ \hspace{10mm}=ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c\\ \hspace{10mm}=(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)$
係数比較で,$a+b=1$,$-a+b+c=0$,$a+c=1$
連立方程式を解いて,$a=\frac{2}{3}$,$b=\frac{1}{3}$,$c=\frac{1}{3}$より,
$\hspace{5mm}\frac{x^2+1}{x^3+1}=\frac{\frac{2}{3}}{x+1}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1}$

各項を積分する.
$\frac{\frac{2}{3}}{x+1}$ の積分は $\frac{2}{3}\log{|x+1|}$

$\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1}$ の積分は分母の微分が $2x-1$ なので,それを分子に作りこむ.
$\hspace{5mm}\frac{1}{3}\cdot\frac{x+1}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x+2}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1+3}{x^2-x+1}\\ \hspace{10mm}=\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1}$
$\frac{1}{6}\cdot\frac{2x-1}{x^2-x+1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{(x^2-x+1)'}{x^2-x+1}$ の積分は,
$\hspace{5mm}\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)$

$\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1}$ の積分は,分母$x^2-x+1$を平方完成して,
$\hspace{5mm}x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ と置換する.
$\hspace{5mm}x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}=(\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta)^2+\frac{3}{4}=\frac{3}{4}\tan^2\theta+\frac{3}{4}$
より,
$\hspace{5mm}\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{x^2-x+1}=\frac{3}{6}\cdot\frac{1}{\frac{3}{4}\tan^2\theta+\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\tan^2\theta+1}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{\frac{1}{\cos^2\theta}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cos^2\theta$
また,置換 $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ より,$dx=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta$
より,
$\hspace{5mm}\frac{1}{6}\int\frac{3}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\int\cos^2\theta\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\int1d\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\theta$

置換 $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ より $\tan\theta=\frac{2}{\sqrt{3}}(x-\frac{1}{2})=\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$ だから,$\theta=\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

$\hspace{5mm}\frac{1}{6}\int\frac{3}{x^2-x+1}dx=\frac{1}{\sqrt{3}}\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

したがって,$\frac{x^2+1}{x^3+1}$ の積分は,
$\hspace{5mm}\frac{2}{3}\log{|x+1|}+\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

>>積分の記事

0 件のコメント:

コメントを投稿

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.