2007年10月14日日曜日

因数分解

本日の計算

x^4-ax^3+(-2a^2+a+4)x^2+(-2a^2+4a)x+4aの因数分解.
xの式と考えると4次式で手も足も出ない気がするが,aの2次式なら,高校のレベルのちょっと複雑なタスキガケである.タヌキケガじゃないよ.

展開して
x^4-ax^3-2a^2x^2+ax^2+4x^2-2a^2x+4ax+4a
aについて整理
(-2x^2-2x)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^4+4x^2
係数を因数分解
-2x(x+1)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^2(x^2+4)

これがpqa^2+(ps+qr)a+qx=(pa+q)(ra+s)に因数分解されるとして,
pq=-2x(x+1) は,-2\cdot x(x+1)-2x\cdot (x+1) -2(x+1)\cdot x などといった3通りくらいの積がある.
rs=x^2(x^2+4)x\cdot x(x^2+4)x^2\cdot (x^2+4)  1\cdot x^2(x^2+4) など3通りの積がある.

このすべての組み合わせでたすきがけを作ると,18通りのたすきがけができるが,そのなかで a の係数が (-x^3+x^2+4x+4) になるのは,
p=-2xq=x+1
r=x^2+4s=x^2
だけである.

したがって,
-2x(x+1)a^2+(-x^3+x^2+4x+4)a+x^2(x^2+4)
=((-2x)a+x^2+4)((x+1)a+x^2)
これを「x の2次式の積」のように直せば,
=(x^2-2ax+4)(x^2+ax+a)

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