2007年9月17日月曜日

スーパー楕円

なるものがあるらしい.
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楕円の方程式
$\left(\frac{x}{a}\right)^2+\left(\frac{y}{b}\right)^2=1$
の「2乗」を他のものに変えたもの.(絶対値にしないと定義できない)
$\left|\frac{x}{a}\right|^r+\left|\frac{y}{b}\right|^r=1$

r や a,b を他の数字に変えると,いろいろな形が出てくる
a=3,b=2 で
$\left|\frac{x}{3}\right|^r+\left|\frac{y}{2}\right|^r=1$
r=2 だと,普通の楕円.
rを大きくしていくと,長方形に近づく.
逆にrを小さくして,1にすると,ひし形.
1より小さくするとひし形の辺を凹ました形.
スーパー楕円


r=2.5 が,四角すぎず丸すぎず.
$\left|\frac{x}{3}\right|^{2.5}+\left|\frac{y}{2}\right|^{2.5}=1$
広くデザインに使われる.
スーパー楕円
「スーパー楕円で,広場のロータリー形状や、テーブル、ホットプレート、建築物、スーパーエッグ」
スーパーエッグって?

図に描くには,$x\gt0$,$y\gt0$ の範囲で,$y=f(x)$にして,xに細かく値を代入して,エクセルなどに計算させるのが現実的だろうな.
$\left|\frac{x}{a}\right|^r+\left|\frac{y}{b}\right|^r=1$
$x\gt0$,$y\gt0$ では絶対値は不要だから,
$\left(\frac{x}{a}\right)^r+\left(\frac{y}{b}\right)^r=1$
移項して,
$\left(\frac{y}{b}\right)^r=1-\left(\frac{x}{a}\right)^r$
$\frac{y}{b}=\left(1-\left(\frac{x}{a}\right)^r\right)^{\frac{1}{r}}$
$y=b \left(1-\left(\frac{x}{a}\right)^r\right)^{\frac{1}{r}}$

$a=3$,$b=2$,$r=2.5$なら,
$y=2 \left(1-\left(\frac{x}{3}\right)^{2.5}\right)^{\frac{1}{2.5}}$

このブログの図は,y= に直した式を4つ用意して,くっつけたが,
パラメータ表示するという手もある.
$x^2+y^2=1$
のとき,
$x=\cos\theta$,$y=\sin\theta$
と座標を計算できる.
$\left(\frac{x}{3}\right)^{2.5}+\left(\frac{y}{2}\right)^{2.5}=1$
のとき,
$\left(\left(\frac{x}{3}\right)^{1.25}\right)^2+\left(\left(\frac{y}{2}\right)^{1.25}\right)^2=1$
から,
$\cos\theta=\left(\frac{x}{3}\right)^{1.25}$,$\sin\theta=\left(\frac{y}{2}\right)^{1.25}$
とおくことができ,
$\frac{x}{3}=(\cos\theta)^{\frac{1}{1.25}}$,$\frac{y}{2}=(\sin\theta)^{\frac{1}{1.25}}$,
$x=3(\cos\theta)^{0.8}$,$y=3(\sin\theta)^{0.8}$
$\theta$を0から直角まで変化させたものを4つくっつければ完成.

最初にデザインしたのはピート・ハイン

3 件のコメント:

  1. スーパー楕円に興味があり、30数年前にマーガリンのフタを拡大コピーして、当時注目されたスーパーオーバル型のスピーカーシステムを作りました。今回はちゃんと計算して再挑戦しようと考えています。
    そこで、r=2.5の場合のスーパー楕円の面積の求め方を教えていただきたいです。よろしくお願いします。

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    1. a=3, b=2, r=2.5 のとき
      https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5B(2%2F3)(3%5E2.5-x%5E2.5)%5E(1%2F2.5),%7Bx,0,3%7D%5D

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    2. 早速、ご教唆いただきありがとうございます。あちらこちら探しても見つからなかった答えが、くろべえさんのお陰で解決できました。ありがとうございました。

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