2007年9月1日土曜日

1/(1+(cos x)^2) の積分

こんな検索があったので,回答すっか.
$\int\frac{1}{1+cos^2 x}dx$
検索されたページは,これとは違う式.cos だの ^2 だのがヒット.

最後のほうに出てくる arctan は高校の教科書にはないが,やっていること自体は,高校の数学IIIの教科書にある定積分
$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx$
と同じ計算である.つまり,不定積分では変数を元に戻すときに arctan が出てくるが,高校の教科書の定積分では戻すことなく数字を計算するわけである.


まずは,数学Iの三角比の公式
$\tan^2 x+1=\frac{1}{\cos^2 x}$

>>積分の記事

を用いて変形する.

$\int\frac{1}{1+cos^2 x}dx$
の分子分母を $\cos^2 x$ で割ると.
$=\int\frac{\frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{1}{cos^2 x}+1}dx$
これに数学Iの公式をあてはめると,
$=\int\frac{\tan^2 x+1}{\tan^2 x+1+1}dx$
$=\int\frac{\tan^2 x+1}{\tan^2 x+2}dx$

$\tan x = t$ と置換すると,
$\frac{1}{cos^2 x} dx = dt$
であり,例によって,$\tan^2 x+1=\frac{1}{\cos^2 x}$ だったからこの式は,
$(\tan^2 x+1)dx =dt$
$(t^2 +1)dx =dt$
$dx =\frac{1}{t^2 +1}dt$
と置換されるので,元の積分は,
$=\int\frac{t^2+1}{t^2+2}\cdot\frac{1}{t^2 +1}dt$
$=\int\frac{1}{t^2+2} dt$
となる.

つづいて,$t=\sqrt{2}\tan\theta$ と置換すると,$dt=\frac{\sqrt{2}}{\cos^2\theta} d\theta$ で,$t^2=2\tan^2 \theta$だから,これで置換すると,
$=\int\frac{1}{2\tan^2 \theta+2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\cos^2\theta} d\theta$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{\tan^2 \theta+1} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$
ここで,例によって,$\tan^2 \theta+1=\frac{1}{\cos^2 \theta}$ だったからこの式は
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\int\frac{1}{\frac{1}{\cos^2 \theta}} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\frac{\cos^2 \theta}{1} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} d\theta$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int 1 d\theta$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\theta$

ここから,元の変数に戻してゆく.$t=\sqrt{2}\tan\theta$ より,
$\frac{t}{\sqrt{2}}=\tan\theta$
よって,
$\theta=\arctan\frac{t}{\sqrt{2}}$
なので,積分は,
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{t}{\sqrt{2}}$
さらに,$\tan x = t$ より,
$=\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\frac{\tan x}{\sqrt{2}}$
を得る.

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