2007年9月22日土曜日

オイラーの関係式

オイラーの関係式(Euler's formula)
$e^{ix}=\cos x+i\sin x$
を導くのはふつうは,マクロリン展開であるが,英語版の wiki を見ていたら,おもろい証明方法が・・・

$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}$
とおく.
微分して,
$f'(x)=\frac{(\cos x+i\sin x)'e^{ix}-(\cos x+i\sin x)(e^{ix})'}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x)e^{ix}-(\cos x+i\sin x)(ie^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x)e^{ix}-i(\cos x+i\sin x)(e^{ix})}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{\left(-\sin x+i\cos x-i(\cos x+i\sin x)\right)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x-i\cos x-i^2\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+i\cos x-i\cos x+\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =\frac{(-\sin x+\sin x)e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\ \hspace{5mm} =0$
微分して0になるのは定数である.よって,どんな$x$についても$f(x)=f(0)$ といえる.
$f(x)=f(0)=\frac{\cos 0+i\sin 0}{e^{i0}} \\ \hspace{5mm} =\frac{1+i 0}{e^{0}} \\ \hspace{5mm} =\frac{1}{1}=1$
より,
$f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}=1$
$\cos x+i\sin x=e^{ix}$

結果がわかっていれば,それにいくらでもつじつまが合わせられるという典型かな.

1 件のコメント:

  1.     Euler絡みで
    http://b4.spline.tv/mynb/?message=94
    忙中閑∃の際 遊び心で 解いて 下さい。
         (後半部 【くど諄】くてすみません)

    くどいようだがそれは重要なことなんだ 
    Excuse me for repeating myself,
    but please remember it's very important for us.
    ---------------------------------------------------
              以前の
    http://hooktail.maxwell.jp/cgi-bin/yybbs/yybbs.cgi?room=room1&mode=res&no=17788&mode2=preview_pc
          に 関連します。

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