2007年7月10日火曜日

虚数の三角関数

今日,三角関数のテスト監督をしていたら,授業担当者が問題を訂正.
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$のとき,$\sin\theta\cos\theta$の値を求めよ.
という問題で,$\sqrt{3}$から$\frac{1}{2}$に直していた.

間違った問題$\sqrt{3}$でも $\sin\theta\cos\theta$ の値は求まるが,この場合の sin と cos のそれぞれの値は虚数になるから,高校の数学の範囲外ではある.


正しい問題
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$
の場合は次のようになる.

$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$の両辺を2乗して,
$\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=\frac{1}{4}$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$だから,
$1-2\sin\theta\cos\theta=\frac{1}{4}$
$\sin\theta\cos\theta=\frac{3}{8}$
と答えが求まる.

ここからsin cos の値を求めることができる.
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=1+2\sin\theta\cos\theta$
であるから,
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\times\frac{3}{8}=\frac{7}{4}$
より
$\sin\theta+\cos\theta=\pm\frac{\sqrt{7}}{2}$
である.

$\sin\theta+\cos\theta=\frac{\sqrt{7}}{2}$
$\sin\theta-\cos\theta=\frac{1}{2}$
より,辺々加えて,
$2\sin\theta=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
$\sin\theta=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$
などが求まる.
$\frac{\sqrt{7}+1}{2}$
の値はおよそ 0.911438=sin65.7度 程度である.


これが間違った問題
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$
のときは次のように,とりあえず同じ手順になる.

両辺を2乗して,
$\sin^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=3$
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$だから,
$1-2\sin\theta\cos\theta=3$
$\sin\theta\cos\theta=-1$
と答えが求まるから,一見,高校の問題になりそうである.

では,上記と同様,sin,cos を求めてみる.
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\sin\theta\cos\theta$
から,
$(\sin\theta+\cos\theta)^2=1+2\times(-1)=-1$
より
$\sin\theta+\cos\theta=\pm i$ (i は虚数単位)
となり,高校数学の範囲ではなくなる.

このまま,計算を続行すると,
$\sin\theta+\cos\theta=\pm i$
$\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{3}$
より,辺々加えて,
$2\sin\theta=\sqrt{3}\pm i$
$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}\pm i}{2}$
同様に,辺々引いて,
$\cos\theta=\frac{-\sqrt{3}\pm i}{2}$
などと求まる.
では,この$\theta$ を求めてみようと思う.当然虚数である.

試験監督をやりながら,求めてみた.
Euler の関係式,
$e^{x+yi}=e^x(\cos y + i \sin y)$
を使うと,
$\theta=\frac{\pi}{4}+i\log{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}$
という虚数が求まった.
つまり,
$\sin(\frac{\pi}{4}+i\log{\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}})=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
あとで数値計算をしてみたらぴったり.
$\sin(0.785398+0.658479i)=0.866025+0.5i$

つづく


参考>不思議な数πの伝記

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