2007年7月12日木曜日

虚数の三角関数その2

つづき

前回,
$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
から,
$\theta=\frac{1}{4}\pi+i \log(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}})$
を求めたが,その手順のメモ.

Euler の関係式
$e^{i\theta}=\cos\theta+ i \sin\theta$
より,
$e^{-i\theta}=e^{i(-\theta)}=\cos(-\theta)+ i \sin(-\theta)=\cos\theta- i\sin\theta$.
この両辺の,和と差を計算すると,
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta$
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$
より,
$\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$
$\sin\theta=\frac{1}{2i}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})=\frac{-i}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$
であるから,
$\sin\theta=\frac{-i}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
である.

この式を$\theta$について解く.
両辺を2i倍して,
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=-1+i\sqrt{3}$
両辺を$e^{i\theta}$倍して,
$(e^{i\theta})^2-e^{-i\theta}e^{i\theta}=(-1+i\sqrt{3})e^{i\theta}$
$(e^{i\theta})^2-e^{-i\theta+i\theta}=(-1+i\sqrt{3})e^{i\theta}$
$(e^{i\theta})^2-e^{0}=(-1+i\sqrt{3})e^{i\theta}$
$(e^{i\theta})^2-1=(-1+i\sqrt{3})e^{i\theta}$
$(e^{i\theta})^2-(-1+i\sqrt{3})e^{i\theta}-1=0$
$e^{i\theta}$の2次方程式だから,
$e^{i\theta}=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm\sqrt{(-1+i\sqrt{3})^2+4}}{2}$
$=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm\sqrt{2-2i\sqrt{3}}}{2}$
$=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm\sqrt{3-2i\sqrt{3}-1}}{2}$
$=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm\sqrt{(\sqrt{3})^2-2i\sqrt{3}+i^2}}{2}$
$=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm\sqrt{(\sqrt{3}-i)^2}}{2}$
$=\frac{(-1+i\sqrt{3})\pm(\sqrt{3}-i)}{2}$
面倒なので,「±」の+の方をとって計算.(「-も同様」としていい)

$e^{i\theta}=\frac{(-1+i\sqrt{3})+(\sqrt{3}-i)}{2}$
$=\frac{(-1+\sqrt{3})+i(-1+\sqrt{3})}{2}$
$=\frac{(-1+\sqrt{3})(1+i)}{2}$

ここで,$\theta=x+yi$とおき,実数x,yを求める.
$e^{i\theta}=e^{i(x+yi)}=e^{-y+ix}=e^{-y}e^{ix}$
Euler の関係式より
$=e^{-y}(\cos x+i \sin x)$
x,yは実数だから,$(\cos x+i \sin x)$の絶対値が1である.
$e^{-y}(\cos x+i \sin x)=\frac{(-1+\sqrt{3})(1+i)}{2}$
$|1+i|=\sqrt{2}$なので,
$e^{-y}(\cos x+i \sin x)=\frac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)$
より,
$\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$ から $x=\frac{\pi}{4}$
$e^{-y}=\frac{-1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
となるから,
$e^{y}=\frac{1}{e^{-y}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}-1}$
$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}$
$=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{3-1}=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
より,
$y=\log\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$

したがって,
$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$
を満たす$\theta$は
$\theta=x+iy=\frac{\pi}{4}+i\log\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
となる・・・なんてことを試験監督をやりながら計算してみた.

この記述は穴だらけで,あちこちギャップはあるが,重箱の隅を無視した大雑把な計算を短時間でやると上記のようなものとなるだろう.

つづく

1 件のコメント:

  1. このページだけTEXがそのままテキストになってますので訂正お願いします。

    流石にTEX直読みは辛いっすw

    返信削除

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.