2007年6月5日火曜日

n次元単体の中心角

五胞体の中心角の cos を計算したとき,

1次元単体は線分で,重心(中点)から2つの頂点に延ばした直線のなす角は180度だから
cos180度=-1
2次元単体は正三角形で,重心から3つの頂点に延ばした直線のなす角は120度だから
cos120度=-1/2
3次元単体は正四面体で,重心から4つの頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/3
4次元単体は正五胞体で,重心から5つの頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/4
から,
n次元単体の重心から n+1個の頂点に延ばした直線のなす角θに対し
cosθ=-1/n
と類推したが,正しくは証明が必要.

(証明)
辺の長さを1の n次元単体の n+1個の頂点の位置vector を
\mathrm{O}(\vec{0}),\ \mathrm{A_1}(\vec{a_1}),\ \mathrm{A_2}(\vec{a_2}),\ \cdots\ \mathrm{A_n}(\vec{a_n}),\
とすると,重心 \mathrm{G}(\vec{g}) は n+1 個の頂点の真ん中だから,
\vec{g}=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})
このとき,\mathrm{GO},\ \mathrm{GA_1} のなす角を \theta とすると,
\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|}


まず,分母の計算.
Gから各頂点への長さはすべてGOと同じだから,
|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|=|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GO}}|=|\vec{\mathrm{GO}}|^2=|\vec{\mathrm{OG}}|^2=|\vec{g}|^2=\vec{g}\cdot\vec{g}
=\left(\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\right)\cdot\left(\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\right)
=\frac{1}{(n+1)^2}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\cdot(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})
=\frac{1}{(n+1)^2}(\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}+\vec{a_2}\cdot\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n}\cdot\vec{a_n}
+2\vec{a_1}\cdot\vec{a_2}+2\vec{a_1}\cdot\vec{a_3}+\ \cdots\ +2\vec{a_{n-1}}\cdot\vec{a_n})
ここで,三角形\mathrm{OA_1A_2}は辺の長さ1の正三角形で,2辺\mathrm{OA_1},\ \mathrm{OA_2}のなす角は60度だから,
\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}=\vec{\mathrm{OA_1}}\cdot\vec{\mathrm{OA_1}}=|\vec{\mathrm{OA_1}}|^2=1
\vec{a_1}\cdot\vec{a_2}=\vec{\mathrm{OA_1}}\cdot\vec{\mathrm{OA_2}}=|\vec{\mathrm{OA_1}}||\vec{\mathrm{OA_2}}|\cos60^{\circ}=1\times1\times\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
他の番号についても同様で,
\vec{a_i}\cdot\vec{a_i}=1
i\ne jならば \vec{a_i}\cdot\vec{a_j}=\frac{1}{2}
なので,
|\vec{g}|^2=\frac{1}{(n+1)^2}(1+1+\ \cdots\ +1+2\times\frac{1}{2}+2\times\frac{1}{2}+\ \cdots\ +2\times\frac{1}{2})
そして,
\vec{a_i}\cdot\vec{a_i}=1 は n個,
i\ne jのとき \vec{a_i}\cdot\vec{a_j}=\frac{1}{2}{\ }_{n}\mathrm{C}{\ }_{2}=\frac{n(n-1)}{2}=\frac{n^2-n}{2}個あるから,
|\vec{g}|^2=\frac{1}{(n+1)^2}(n+\frac{n^2-n}{2})=\frac{1}{(n+1)^2}(\frac{n^2+n}{2})=\frac{1}{(n+1)^2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n}{2(n+1)}

つづいて,分子の計算.
\vec{\mathrm{GO}}=-\vec{\mathrm{GO}}=-\vec{g}
\vec{\mathrm{GA_1}}=\vec{\mathrm{OA_1}}-\vec{\mathrm{OG}}=\vec{a_1}-\vec{g}
から,
\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}=(-\vec{g})\cdot(\vec{a_1}-\vec{g})=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+\vec{g}\cdot\vec{g}=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+|\vec{g}|^2

\vec{g}\cdot\vec{a_1}=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}+\vec{a_2}+\ \cdots\ +\vec{a_n})\cdot\vec{a_1}
=\frac{1}{n+1}(\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}+\vec{a_2}\cdot\vec{a_1}+\ \cdots\ +\vec{a_n}\cdot\vec{a_1})
\vec{a_1}\cdot\vec{a_1}だけが 1 で,それ以外の項は \frac{1}{2} である.
そして,\frac{1}{2}は n-1 項あるので,
\vec{g}\cdot\vec{a_1}=\frac{1}{n+1}(1+\frac{n-1}{2})=\frac{1}{n+1}(\frac{n+1}{2})=\frac{1}{2}

よって,
\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}=-\vec{g}\cdot\vec{a_1}+|\vec{g}|^2
=-\frac{1}{2}+\frac{n}{2(n+1)}=-\frac{n+1}{2(n+1)}+\frac{n}{2(n+1)}=\frac{-n-1+n}{2(n+1)}
=\frac{-1}{2(n+1)}

したがって,
\cos\theta=\frac{\vec{\mathrm{GO}}\cdot\vec{\mathrm{GA_1}}}{|\vec{\mathrm{GO}}||\vec{\mathrm{GA_1}}|}=\frac{ \frac{-1}{2(n+1)} }{ \frac{n}{2(n+1)} }
=-\frac{1}{n}
となる.



n次元の図を書くことなど思いもよらないが,3次元と同じ理屈だから,機械的な計算だけで求まってしまう.まさに「代数」の威力だね.

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