2007年5月14日月曜日

1の5乗根

の質問.
1の5乗根つまり
z^5=1\Leftrightarrowz^5-1=0
の解.

解1
z^5-1=(z-1)(z^4+z^3+z^2+z+1)=0
より
z-1=0またはz^4+z^3+z^2+z+1=0
解の1つは z=1
z^4+z^3+z^2+z+1=0
において,z=0 は方程式を満たさないので,z≠0 より両辺を z^2 で割ると,
z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0
\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0

ここで,
t=z+\frac{1}{z}
とおくと,
t^2=\left(z+\frac{1}{z}\right)^2
=z^2+2z\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}
=z^2+2+\frac{1}{z^2}
より
z^2+\frac{1}{z^2}=t^2-2
であるから,
\left(z^2+\frac{1}{z^2}\right)+\left(z+\frac{1}{z}\right)+1=0
(t^2-2)+t+1=0
t^2+t-1=0
ゆえに,
t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

よって,
z+\frac{1}{z}=t
より両辺をz倍して,
z^2+1=tz
z^2-tz+1=0
z=\frac{t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}

以下,複号同順で,
t^2=\left(\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\right)^2
=\frac{6\mp2\sqrt{5}}{4}
t^2-4=\frac{6\mp2\sqrt{5}}{4}-4=\frac{-10\mp2\sqrt{5}}{4}
\sqrt{t^2-4}=\frac{\sqrt{-10\mp2\sqrt{5}}}{2}=\frac{\sqrt{10\pm2\sqrt{5}}}{2}i

これを
z=\frac{t\pm\sqrt{t^2-4}}{2}
に代入して,
z=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i
z=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i
z=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i
z=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i

解2
旧教育課程「数学B」の複素平面の知識があれば,1のn乗根は原点を中心とする半径1の円上の点1=1+0i=(1,0)を頂点のひとつとする,円に内接する正n角形の頂点に並ぶ.
1の5乗根は,点1=1+0i=(1,0)を頂点のひとつとする,円に内接する正5角形の頂点であるので,解は
\cos0^\circ+i\sin0^\circ=1+0i=1
\cos72^\circ+i\sin72^\circ
\cos144^\circ+i\sin144^\circ
\cos216^\circ+i\sin216^\circ
\cos288^\circ+i\sin288^\circ
である.
72度の三角比
\sin72^\circ=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}
\cos72^\circ=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}
であるので,
\cos72^\circ+i\sin72^\circ=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i
あとは,加法定理で,144度,216度,288度の三角比を計算して,
\cos144^\circ+i\sin144^\circ=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}+\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i
\cos216^\circ+i\sin216^\circ=\frac{-1-\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}i
\cos288^\circ+i\sin288^\circ=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}-\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}i

2 件のコメント:

  1. 分かりました。ありがとうございます。
    くろべえ様
    分数の打ち込みは大変なのにありがとうございます。
    ルートがきれいに書いてますがIMEパッドでは無理です。またよろしくお願いします。群論も理解されてますか。私は中退なのでこのブログはレベルが違いますね^^

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  2. 数式は TeX コマンドです.
    >群論
    一応,ゼミは環論だったからなぁー.群論くらいは使えないとね.イデヤルとかで始まってホモトピーとかもやったな・・・
    でも,まぁ私は下手の横好きですよ.わからない質問や面倒なコメントはよく無視して,怒らせてしまいます.あまり期待しないでね.

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