2007年1月24日水曜日

正多面体,どれが丸い?

つまり球に近い正多面体はどれか?
という問題.

正四面体,立方体,正八面体,正12面体,正20面体のなかで,面の数から言えば正20面体がいちばん丸い(球に近い)という気がする.

球に内接する多面体を考え,体積が一番大きいのが球に近い(丸い)と考えると,実は正12面体が一番体積が大きく,丸いといえる.
球に内接する場合は,頂点で球に接する.
頂点の数で言えば,正12面体が頂点20,正20面体が頂点12.つまりたくさんの頂点で球の中に出っ張って接する正12面体が一番体積が大きい.
その意味で,出っ張りの多い正12面体が一番「丸い」

しかし球に外接する多面体を考え,一番小さい体積のものが球に近い(丸い)とすると,逆転する.
球に外接する場合は,面が球に接するので,接する面が一番多い正20面体が一番体積が小さくなる.
その意味で,出っ張りの少ない正20面体が一番「丸い」

さて,どっちの「丸い」を取るべきか・・・

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