2007年1月5日金曜日

円周率は無限小数で,さらに分数にならない

これは
「円周率は無理数である」
という一言で片付くのであるが.

円周率の話題は今までもたくさん書いている.>サイト内の記事

円周率の計算記録が伸びるニュースが伝わると,「いつか終わるのだろうか」という素朴な疑問を持つ人もいるようだ.
もちろん,円周率は無理数なので,終わることはない.
実際の計算も,「無限に長い式」を途中で止めて,「今回は○桁」である.

そもそも,
「分数にならない実数を無理数という」
のであるから,無理数である円周率は分数にならないことも明らか.

さて,
「無理数ならば無限小数」
を示すことも,たやすいことである.

それはその対偶である,
「有限小数ならば分数(有理数)」
と同値だからである.

証明
小数n桁なら,分数の分母に10^n(0の個数がn個の100…0という数)をつかえば,分子も整数になる.

これは証明より,実例のほうが納得できる.
123.456789 という有限小数は
\frac{123456789}{1000000}
という分数(整数比)になるということである.

「有限小数ならば分数(有理数)」
が示されたのでその対偶
「分数(有理数)でないならば有限でない小数」
も正しい.ここで,
「分数(有理数)でない実数を無理数という.」
「有限でない小数を無限小数という.」
なので,言葉を置き換えれば,
「無理数ならば無限小数」
が言える.

ということで,円周率は無理数であることがわかっているので,分数で表すことができず,「無限小数」といえる.
同様に高校の教科書で,無理数であると証明している√2も無限小数である.


問題は円周率が無理数であることを証明すること.結構面倒だが,高校レベルの数学でできる.>参考サイト(PDF)

大阪大学の入試問題になった.>入試問題 大阪大学 後期4


さて,無限小数の中には,分数で表されるものもある.
つまり,無理数ならば分数にならないし無限小数だが,無限小数の中にも分数(有理数)がある.(正しい命題の逆が成り立つとは限らない)
1÷3 = 0.333・・・
1÷7 = 0.142857 142857 ・・・
分数には,このように循環する無限小数がたくさんあるが,逆に,循環小数はすべて分数(有理数)であるといえる(高校の数学III).たとえば,
0.5736866 5736866 5736866・・・= 5736866/9999999 = 1234/2151
のように必ずできる.>循環小数の話題

したがって,無理数である円周率や√2は,循環もしない無限小数といえるし,無理数なので分数にもならない.

さて,5736866/9999999 = 1234/2151 の約分はユークリッドの互除法を使う.>過去の記事
くろべえ「互除法」関連の記事


9999999 - 5736866 = 4263133
5736866 - 4263133 = 1473733
4263133 - 1473733 × 2 = 1315667
1315667 - 158066 × 8 = 51139
158066 - 51139 × 3 = 4649
51139 - 4649 × 11 = 0
より最大公約数 4649.
5736866 ÷ 4649 = 1234
9999999 ÷ 4649 = 2151
5736866 / 9999999 = 1234 / 2151

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