2006年11月26日日曜日

18°,36°,54°,72°の三角比(sin cos)

以前36度の三角比を断りなしに使ったが,正3角形から作る30度60度や正方形から作る45度はともかく,36度は正5角形から作るのでので,ちょっと複雑.

正5角形の5本の対角線(星型)を全部引くといろんな角度が出てくるが,それらは36度,2倍の72度,3倍の108度のどれかである.つまり「正5角形は36度だらけ」である.

正5角形の外接円を考えると一目瞭然.
外接円の中心Oを考えると,各辺を弦とする弧の中心角は
360÷5=72度
ということは各辺に3つずつある合計15個の円周角は全部36度.

この円周角が2つ集まる角が72度で,3つ集まる5角形の内角は108度となる.

5角形

対角線BEと辺CDはそれを横切るCEが錯角の位置で36度になるので,平行といえる.
このことから対角線同士が交わる角も36,72,108である.
そして,正5角形とその対角線を結んだ図には,平行四辺形や二等辺三角形がたくさんあって,同じ形なら相似の関係になるものばかりである.


さて,36度の三角比を求めるには,この形の中の△ACDを使う.
つまり頂角36度,底角72度の二等辺三角形である.

まず底角Cの2等分線を引く.(正5角形の対角線CEにあたる)
その線とADとの交点をQとすると,
二等辺三角形
△QACはA=C=36度の二等辺三角形である.
△CDQは∠QCD=36度,∠QDC=72度より∠DQC=180-36-72=72度でこれも二等辺三角形.
2つの二等辺三角形から,AQ=QC=CDである.
AQ=QC=CD=1,QD=xとする.
また,角度から△ACDと△CDQは相似だから AC:CD=CD:DQ であるので,
$(1+x):1=1:x$
$x=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$
$x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
$\mathrm{AC}=x+1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
これら,x や x+1 といった「正5角形の対角線と辺の比」が有名な黄金比で,正5角形の対角線はすべて互いに「黄金比で切断」している.

黄金比は彫刻や絵画の構図に使われたり,自然の動植物にもたくさん現れる比としても有名である.

QからACの中点Mに垂線を引くと
$\mathrm{AM}=\frac{\mathrm{AC}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
AQ=1より直角三角形AQMについて,
$\cos A=\cos 36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\sin 54^{\circ}$
となり,
$\sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\cos^2 36^{\circ}}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}=\cos54^{\circ}$


CDの中点NにAから垂線を引くと
$\cos72^{\circ}=\frac{\mathrm{CN}}{\mathrm{AC}}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4}=\sin18^{\circ}$
となり,
$\sin 72^{\circ}=\sqrt{1-\cos^2 72^{\circ}}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}=\cos18^{\circ}$

このように,図を使うと加法定理などの知識は不要だが,結構面倒ではある.



これに対し,加法定理(実際は2倍,3倍角)を使うと図は不要で,純粋に計算だけで求まってしまう.といっても発想の源は正5角形の中にある角度の関係
36度×3=108度=180度-72度=180度-36度×2
であるが.
これさえわかればあとは,計算だけになる.
三角比の公式
$\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta$
から
$\sin(180^{\circ}-2\times36^{\circ})=\sin2\times36^{\circ}$
となり
$\sin3\times36^{\circ}=\sin2\times36^{\circ}$
あとは2倍角公式,3倍角公式を当てはめて計算.
$3\sin36^{\circ}-4(\sin36^{\circ})^3=2\sin36^{\circ}\cos36^{\circ}$
36度は鋭角なので$\sin36^{\circ}$は0でないから,両辺を割ると
$3-4(\sin36^{\circ})^2=2\cos36^{\circ}$
三角比の公式$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$から
$3-4(1-\cos^2 36^{\circ})=2\cos36^{\circ}$
$\cos36^{\circ}=x$とおくと
$3-4(1-x^2)=2x$
$4x^2-2x-1=0$
$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
$\cos36^\circ\gt0$
$\cos36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

ちなみに「マイナス」は108度である.108度も$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たす.


これを想定した入試問題を見たことがある.
鋭角$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たすとき,次の問いに答えよ.
(1) $\theta$を求めよ.
(解)$\sin2\theta=\sin3\theta=\sin(\pi-3\theta)$
よって,$2\theta=\pi-3\theta$
$5\theta=\pi$
$\theta=\frac{\pi}{5}$
(2) $\sin\theta$を求めよ.
(解)$\sin2\theta=\sin3\theta$より2倍角3倍角の公式に当てはめ,
あとは上記のとおり.

これを鋭角に制限しなければ,nを整数として
$\sin2\theta=\sin(2\theta+2n\pi)=\sin3\theta=\sin(\pi-3\theta)$
よって,$2\theta+2n\pi=\pi-3\theta$
$5\theta=\pi-2n\pi$
$\theta=\frac{(1-2n)\pi}{5}$
つまり,$\frac{9\pi}{5}$などが該当する.
三角比レベルの0~180度でも 36度のほかに108度,180度が$\sin2\theta=\sin3\theta$を満たす.
また両辺を sin で割ったときも「鋭角だから0でない」としたが,制限がなければ
$\sin\theta=0$も想定して,180×n度も答えとなる.

5 件のコメント:

  1. こんにちは。
    36度について調べていたらたどりつきました。
    図も載っておりまた分かりすい内容になっておりとても参考になりました。

    ただ、一点理解出来なかった部分があります。
    「外接円の中心Oを考えると,各辺を弦とする弧の中心角は
    360÷5=72度
    ということは各辺に3つずつある合計15個の円周角は全部36度.」
    という部分で各辺に3つずつある合計15個の円周角は全部36度となる理由がいまいち理解できませんでした。
    元々私自身は図形が苦手で理解するのに苦労しています。
    もし可能でしたらもう少し詳しく説明していただけたら幸いです。
    お手数をおかけしますがよろしくおねがいします。

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  2. 説明を省略してすいません.

    一つの弧CDの中心角 ∠COD=72度 より,
    3つの円周角はすべて等しい 36度=∠CBD=∠CAD=∠CED である.

    弧CD=弧DEより,中心角 ∠DOE=72度,円周角 36度=∠DCE=∠DBE=∠DAE

    弧CD=弧EAより,中心角 ∠EOA=72度,円周角 36度=∠EDA=∠ECA=∠EBA

    弧CD=弧ABより,中心角 ∠AOB=72度,円周角 36度=∠AEB=∠ADB=∠ACB

    弧CD=弧BCより,中心角 ∠BOC=72度,円周角 36度=∠BAC=∠BEC=∠BDC

    ゆえに,15個の円周角は
    36度
    =∠CBD=∠CAD=∠CED
    =∠DCE=∠DBE=∠DAE
    =∠EDA=∠ECA=∠EBA
    =∠AEB=∠ADB=∠ACB
    =∠BAC=∠BEC=∠BDC

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    1. くろべえ様

      早速の御返信ありがとうございます。
      とても分かりやすい説明ありがとうございました。
      納得でき理解することが出来ました!

      また申し訳ないですが、上記のコメントを書いたあとに改めて文章を読んでいて確認しておきたいことができたのですがよろしいでしょうか。
      「対角線BEと辺CDはそれを横切るCEが錯角の位置で36度になるので,平行といえる.」
      という部分なのですが、これは
      ∠BEC=∠ECD(または∠EBD=∠BDC)だから対角線BEと辺CDは平行
      という認識で合っていますでしょうか。
      自分の認識が不安なものでして…
      お手数をおかけしますがよろしくおねがいします。

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    2. くろべえ様

      ありがとうございます。
      合っていてよかったです。
      今回は色々と親切に教えてくださりありがとうございました。
      今後も勉強していきたいと思います!

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