2006年10月27日金曜日

iの立方根(虚数単位の3乗根)

先日,虚数単位i の平方根を求めてみたが,同様に4通りの方法でできるかな?


まずは,旧教育課程にあった,複素数平面の de Moivre の公式を使ったもので,これは当時の教科書の例題にあるだろう.

<解1>
i の絶対値 |i|=1 で,偏角は 90度+360度×n
ということから,
3乗根の絶対値は1の正の3乗根なので 1.
偏角は3で割って 30度+120度×n
つまり
\cos(30^\circ+n\times120^\circ)+i\sin(30^\circ+n\times120^\circ)
で,n=0,1,2 が解となり,
\cos30^\circ+i\sin 30^\circ=\frac{\sqrt{3}+i}{2}
\cos150^\circ+i\sin 150^\circ=\frac{-\sqrt{3}+i}{2}
\cos270^\circ+i\sin 270^\circ=-i



つづいて,x=a+bi とおいて素朴に求める.

<解2>x^3=iにおいて,x=a+biとおき,
x^3=a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+b^3i^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i
x^3=i=0+1iより,実部と虚部を比較し連立方程式
a^3-3ab^2=0,\ 3a^2b-b^3=1
を解く.
a^3-3ab^2=a(a^2-3b^2)=0より
a=0,\ a^2-3b^2=0
a=0のときは,3a^2b-b^3=1からb^3=-1で,bは実数だから,
b=-1
ゆえに
x=a+bi=0-1i=-i
3a^2-b^2=0のときは
b^2=\frac{a^2}{3}
b=\pm\frac{a}{\sqrt{3}}
これを3a^2b-b^3=1に代入して,(マイナスは省略)
3a^2\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)-\left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^3=1
3a^3\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{a^3}{3\sqrt{3}}=1
両辺3\sqrt{3}倍して
9a^2-a^3=3\sqrt{3}
8a^3=3\sqrt{3}
a^3=\frac{3\sqrt{3}}{2^3}
aは実数なので,
a=\frac{\sqrt{3}}{2}
ゆえに,a=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}
これをb=\pm\frac{a}{\sqrt{3}}に代入する.プラスマイナスを考えると4通りの解がでるが,3乗が+iになるのは,
x=a+bi=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i
x=a+bi=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i
である.
したがって,虚数単位の立方根は
\frac{\pm\sqrt{3}+i}{2},\ -i


<解3> 因数分解で解く.
x^3=i
i^3=-iであることに気づけば,因数分解は簡単で,
x^3=-i^3
x^3+i^3=0
(x+i)(x^2-ix+i^2)=0
(x+i)(x^2-ix-1)=0
x+i=0,\ x^2-ix-1=0
x+i=0よりx=-i
x^2-ix-1=0を解いて,
x=\frac{i\pm\sqrt{3}}{2}

<解3-2> iを解消してから複2次式の因数分解で解く.
x^3=i
の両辺を2乗して,
x^6=-1
x^6+1=0
x^6=(x^2)^3と考えて
(x^2+1)(x^4-x^2+1)=0
x^2+1=0,\ x^4-x^2+1=0
x^2+1=0より,x=\pm i,3乗してiになるのは -i
x^4-x^2+1=0の両辺に3x^2を足して,
x^4+2x^2+1=3x^2
平方完成
(x^2+1)^2=(\sqrt{3}x)^2
(x^2+1)^2-(\sqrt{3}x)^2=0
(x^2+1+\sqrt{3}x)(x^2+1-\sqrt{3}x)=0
2つの2次方程式を解いて,
x=\frac{-\sqrt{3}\pm i}{2},\ \frac{\sqrt{3}\pm i}{2}
この4つのうち,3乗して i になるのは,
x=\frac{-\sqrt{3}+ i}{2},\ \frac{\sqrt{3}+ i}{2}


x^6=-1
において,両辺を2乗すれば,
x^{12}=1
ということで,iの立方根は1の原始12乗根である.
つまり
x^{12}-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^4-x^2+1)
と因数分解でき,1の原始12乗根であるiの立法根は
x^4-x^2+1=0
の解のひとつである.
そして,この因数分解からわかるのは,1の12乗根には「12の約数」乗根がすべて含まれるということである.
また,この12個の解を複素数平面上に並べれば,正12角形の頂点になるり,その頂点を選んで正「12の約数」角形ができる・・・というのは複素数平面の知識だ

<解4> 最後に二重根号をはずす要領では
\sqrt[3]{i}
=\sqrt[3]{(-i)^3}
=-i
くらいしか求まらない.これは<解1>のリテラシーがあれば,残りの二つはこの解に1の虚数立方根
\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}
をかけたものも解になることがわかり,残りの2つが求まるわけだ.

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