2006年2月21日火曜日

虚数に大小はない

正確には「計算のできる大小」はない.専門用語で「順序体ではない」

高校レベルでは「2乗すると-1になる数を i と書く」と説明している.これは定義ではない.これで定義すると破綻するが,その辺の事情はここでは無視して,「2乗すると-1になる数が i」という説明から,虚数に大小のないことを示す.

大小があるなら,0との大小がつくはずである.

i>0 と仮定する.つまり「iはプラス」と仮定する.
両辺に i をかける.
i^2>0×i
-1>0
これは矛盾.

i<0 と仮定する.つまり「iはマイナス」と仮定する. 両辺に i をかける.マイナスをかけると不等号の向きが変わるので, i^2>0×i
-1>0
これは矛盾.

正の数でも負の数でもなければ,0?
i=0 と仮定.
両辺に i をかける.
i^2=0×i
-1=0
これは矛盾.

ということで,虚数単位 i に(計算のできる)大小を考えることはできない.

計算のできない大小のひとつは「辞書式順序」
実部で大小を決め,実部が同じなら虚部で大小を決める.これですべての複素数に大小が決まる.
a+bi < c+di ⇔ a < c or (a = c & b < c)
例:
2+100i < 3+i,
4+i < 4+2i

0 < i (0+0i < 0+1i)なので,上記の通り,計算は破綻する.

8 件のコメント:

  1. 数学は苦手を通り越してわからない(;^_^Aでも・・虚数?の大小はないらしいけど・・うそ(虚)の大小もないね
    うそは大きくてもちいさくてもだめだよ(笑)

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  2. 高校の数学は「教育的配慮」という名のうそで塗り固められています.つまり理解度にあわせて,真実とは違うことを教えていますが,しょうがないことです.真実を教えたら99%の人は理解できません.
    それを「方便」といいます.

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  3. あー、地方に行くと言葉が難しいよねえ・・・(何

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  4. そうそう,特に中山競馬場近くの駅では

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  5. 数学もわからないと思ってたら、お二人の会話まで、理解できなくなった・・・グシュン(>_<)

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  6. ダジャレです.特に私のは超ローカルな.

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  7. 今回の証明(?)は理解できました。簡潔なんですね。
    高校のときは虚数が自分のイメージの限界点でした。(今も)
    ここらから数学が遠のくばかりだったなぁ…。

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  8. まぁそれが普通のことですよ.

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