2005年11月13日日曜日

x/(x^3+1) の0~∞の積分

を質問された.
留数定理を使えばちょろいというか,そこから作った問題だろうけど,相手は高校生.
高校レベルに翻訳しなければならぬ.
答えはわかるので,それにむけて高校レベルにつじつまあわせをしてみる.

$\int_0^\infty\frac{x}{x^3+1}\,dx$を求めよ.
部分分数分解
まず,$\frac{x}{x^3+1}$ を部分分数に分解する.(ぶぶんぶんぶん・・・エンジンみたい)
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ より
$\frac{x}{x^3+1}=\frac{x}{(x+1)(x^2-x+1)} =\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$
となるような $a$,$b$,$c$ を見つける.
両辺を $(x+1)(x^2-x+1)$倍して,
$x =a(x^2-x+1)+(bx+c)(x+1) =(a+b)x^2+(-a+b+c)x+(a+c)$
これは恒等式だから,係数を比較して,
$a+b=0$,$-a+b+c=1$,$a+c=0$
この連立方程式を解くと,
$a=-\frac{1}{3}$, $b=\frac{1}{3}$, $c=\frac{1}{3}$
ゆえに,
$\frac{x}{x^3+1} =\frac{-\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}}{x^2-x+1} = \frac{1}{3}\left(-\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{x^2-x+1} \right)$
したがって,積分は
$\int_0^\infty\frac{x}{x^3+1}\,dx =\frac{1}{3}\left(-\int_0^\infty\frac{1}{x+1}\,dx +\int_0^\infty\frac{x+1}{x^2-x+1}\,dx \right) $
と表せる.それぞれ,積分を分けて考える.

1/(x+1)の積分
まず一番簡単な,
$\int\frac{1}{x+1}\,dx =\log|x+1|$
これ自体は$\infty$に発散するので,あとの積分の状況によってどうなるかわからないから,とりあえず不定積分のままにしておく.

続いて2項目(x+1)/(x^2-x+1) の積分
分母の $x^2-x+1$ の微分が $2x-1$であるから,分子の1次式の中にそれを作り出す.$x$の係数が2だから分母,分子を2倍して,
$\frac{2x+2}{2(x^2-x+1)} =\frac{2x-1+3}{2(x^2-x+1)} =\frac{2x-1}{2(x^2-x+1)}+\frac{3}{2(x^2-x+1)}$
したがって,積分は
$\int\frac{2x-1}{2(x^2-x+1)}\,dx+\int\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx$
$=\int\frac{(x^2-x+1)'}{2(x^2-x+1)}\,dx+\int\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx$
$=\frac{1}{2}\log|x^2-x+1|+\int\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx$
したがって,
$\int\frac{x}{x^3+1}\,dx $
$=\frac{1}{3}\left(-\int\frac{1}{x+1}\,dx +\int\frac{x+1}{x^2-x+1}\,dx \right)$
$=\frac{1}{3}\left(-\log|x+1|+\frac{1}{2}\log|x^2-x+1|+\int\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx\right)$
$-\log|x+1|+\frac{1}{2}\log|x^2-x+1|$を計算する.
$ -\log|x+1|+\frac{1}{2}\log|x^2-x+1|$
$=-\log|x+1|+\log|x^2-x+1|^{\frac{1}{2}}$
$=-\log|x+1|+\log\sqrt{|x^2-x+1|}$
$=\log\frac{\sqrt{|x^2-x+1|}}{|x+1|}$
$=\log\frac{\sqrt{|x^2-x+1|}}{\sqrt{|x+1|^2}}$
$=\log\sqrt{\frac{|x^2-x+1|}{(x+1)^2}}$
$=\log\sqrt{\frac{|x^2-x+1|}{x^2+2x+1}}$
$x=0$のとき,$\log\sqrt{\frac{|x^2-x+1|}{x^2+2x+1}}=\log1=0$.
分母分子を$x^2$ で割って,$x\to \infty$のときの極限は
$=\log\sqrt{\frac{|1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}|}{1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}} \to \log\sqrt{\frac{|1-0+0|}{1+0+0}}=\log 1=0$
したがって
$\int_0^\infty \frac{x}{x^3+1}\,dx $
$=\frac{1}{3}\left( 0+\int_0^\infty\frac{3}{2(x^2-x+1)}\,dx \right)$
$=\int_0^\infty\frac{1}{2(x^2-x+1)}\,dx$

最後に 1/(2(x^2-x+1)) の積分
$x^2-x+1$を平方完成すると
$x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}$
より
$\frac{\sqrt{3}}{2}t=x-\frac{1}{2}$と置換すると,積分範囲は$x\ge0$ より $t\ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となり,$\frac{\sqrt{3}}{2}\,dt=dx$より
$\int_0^\infty\frac{1}{2(x^2-x+1)}\,dx $
$=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{1}{x^2-x+1}\,dx $
$=\frac{1}{2}\int_0^\infty\frac{1}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\,dx $
$=\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^\infty\frac{1}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)^2+\frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2}\,dt$
$=\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^\infty\frac{1}{\frac{3}{4}t^2+\frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2}\,dt$
$=\frac{1}{2}\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^\infty\frac{4}{3t^2+3} \frac{\sqrt{3}}{2}\,dt$
$=\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^\infty\frac{1}{t^2+1} \,dt$
$t=\tan\theta$と置換すると,積分範囲は$t\ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$より$-\frac{\pi}{6}\le\theta\lt \frac{\pi}{2}$となり,$dt=\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$より
$ \frac{\sqrt{3}}{3}\int_{-\frac{1}{\sqrt{3}}}^\infty\frac{1}{t^2+1} \,dt$
$ =\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\tan^2\theta+1}\frac{1}{\cos^2\theta}\,d\theta$
$\tan^2\theta+1=\frac{1}{\cos^2\theta}$(数Iの公式)より積分の中は互いに逆数の積になっているので,
$ =\frac{\sqrt{3}}{3}\int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} 1\,d\theta =\frac{\sqrt{3}}{3}\left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\sqrt{3}}{3}\left({\frac{\pi}{2}}{-\frac{\pi}{6}}\right) =\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$
ゆえに
$\int_0^\infty \frac{x}{x^3+1}\,dx =\int_0^\infty\frac{1}{2(x^2-x+1)}\,dx =\frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

不定積分は$-\frac{1}{3}\log|x+1|+\frac{1}{6}\log(x^2-x+1)+\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\frac{2x-1}{\sqrt{3}}$である.
くろべえ
積分の記事

2 件のコメント:

  1. ご立派!!!゜+.(・∀・)+.
    そんけーーーーー\(^O^)/

    返信削除
  2. すごいいいい~~~~!!!
    分かりやすい解き方を使って解きました
    いい勉強になりました!

    返信削除

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.