2005年6月26日日曜日

相加平均と相乗平均

$a\gt0$,$b\gt0$のとき
$a,\, b$ の平均 $\frac{a+b}{2}$ を相加平均といい,それは相乗平均
$\sqrt{ab}$以上である.
つまり
$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$

これで話が終われば,教科書どおりである.
相加平均は算術平均といい,いわゆるだれでも「平均」といえばこの計算をする.

相乗平均は幾何平均といい,倍率の平均といえる.
0.6gの虫と6000kg の象の体重の平均は約3000kgで虫の重さは誤差の範囲である.
ここで幾何平均
$\sqrt{6000\times 0.0006}=1.89737$
1.89737kg
子猫くらいの大きさ.
これは虫から見た子猫と,子猫から見た像の大きさの比率がどちらも3162.28倍で同じように見えることを意味している.
虫から見たら6トンの象も,3トンのカバも同じようにでかく見えるはずである.

もうひとつ「調和平均」という名の平均がある.
逆数の平均とも言える平均である.

4kmの道のり,行きは1時間で時速4km
帰りは30分=0.5時間で時速8km
のとき,平均時速は算術平均ではない.
往復8kmの道のりに対して,1.5時間しかかかっていないので,
8÷1.5=5.333
平均時速5.3km
これが調和平均である.

時速4の逆数0.25
時速8の逆数 0.125
逆数の算術平均は 0.1875
この逆数が5.333.
逆数の算術平均を取って,その逆数が調和平均である.

なぜ「調和」というか.
弦の長さが調和平均のとき,その逆数の振動数が算術平均になり,「音がよく調和する」からだろう.

4 件のコメント:

  1. 論点が ずれ

    些細な コト ですが  そうか平均 は an arithmetic mean

    (つい metric と 記載したくなりますが....)

    の筈ですが  arithmetric が 蔓延しております 

    ---> arithmetric の検索結果 約 6,470 件
    ¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥

    なぜでしょうか (造語でしょうか?????)

    (arithmetric の検索 で 本文には ちゃんと arithmetic と あるのも在りますが...)

    そうかァ と 【首肯】 できる 説明 を お願い 致します。

    返信削除
  2. 追加 事例達;

    http://www.numdam.org/numdam-bin/item?id=ASENS_1974_4_7_2_235_0

    Stable real cohomology of arithmetric groups <--- arithmetric だとさ

    の pdf ;

    http://archive.numdam.org/ARCHIVE/ASENS/ASENS_1974_4_7_2/ASENS_1974_4_7_2_235_0/ASENS_

    1974_4_7_2_235_0.pdf

    (の 本文には arithmetic !!! )

    ([4] A. BOREL and J.-P. SERRE, Corners and arithmetic groups とあるのに!!!.....)



    https://gpxsvr3.np.edu.sg/apps5/cpd/website.nsf/website.nsf/(CoursesByDocID)/6A2F6336647B

    93DB48256CA90027C566?Opendocument
         内には
    Course Objective
    To provide students with the essential fundamentals and foundation in Arithmetic and

    Aglebra. とあるのに !!!。 

    等々

    返信削除
  3. arithmetic とはしりませんでした。
    勉強になりました。

    返信削除
  4. 勉強になりました
    なにをベンキョウかarithmetic とはしりませんでした
    では 水泡に帰す 

    しんぎん【×呻吟】
    派生語 呻吟する moan, groan;〔苦しむ〕suffer severely⇒あえぐ(喘ぐ),うめく(呻く)

    され コメントを 乞い 願います。


    終焉のない旅

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