2005年2月22日火曜日

線型とは

大学初年の理系では,線型代数学を学ぶ.
あるいは,線型性という言葉も出てくる.
線型は和と定数倍を保存するような性質で,人間が自然と思える性質をさす.


例えば.


まず,多項式は,学校で習う,最初の線型なもの.

つぎに,lim x=a,lim y=b とするとき
定数k について
lim kx=ka  (定数倍)
lim(x+y)=a+b  (和)
だから lim は線型性を持つ.

それから,Σa=A,Σb=B とするとき
定数k について
Σka=kA  (定数倍)
Σ(a+b)=A+B  (和)
だから Σ は線型性を持つ.

微分や積分も線型性を持つ.(定数倍,和)
(ku)'=ku',(u+v)'=u'+v'
∫ku=k∫u,∫(u+v)=∫u+∫v

線型の親分はベクトルや行列で,それをまとめて線型代数学という.

さて,人間にとって自然な性質だから,何か計算違い・勘違いをするときはたいてい「線型な間違い」をするものである.

たとえば
\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{2+3}=\sqrt{5} としてしまう.
実際は
\sqrt{2}+\sqrt{3}%3E\sqrt{5} 
である.

\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin(45^\circ)+\sin(30^\circ) 
と間違える.実際は
\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin 45^\circ \cos 30^\circ +\cos 45^\circ \sin 30^\circ …加法定理

である.

あと,線型空間(ベクトル空間)というと「まっすぐな」空間.
曲がった空間M(多様体)上の点p に線型空間が存在するとき,それをTp で表して,p がM全体を動いたとき,まとめて TM と書く.
他の多様体NにもTN があって,写像f:M→N に対し,写像 D:TM→TN を f の微分といったりする.(ちょっと抽象的)

4 件のコメント:

  1. 再掲 

    Te(SO(n)) 『曲がった空間M(多様体)上の点p に線型空間が存在するとき,それをTp で表して,p がM全体を動いたとき,まとめて TM と書く.

    の記載を 覗き 

    M=SO(n)の恒等写像 眼には眼 歯----e--->歯

    における接空間 Te(SO(n)) を 視たい!!!

    dim(Te(SO(n)))=2^2-3,3^2-6,.........』

    Te(SO(n))

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  2. The set of all tangent vectors at e we denote by
    --------------------------------------------------

    Te(SO(n))

    多様体 SO(n) の 単位元 e に おける接vector空間

    ----------------------------------------------------

    Tp (M)で表して,

    p がM全体を動いたとき,まとめて TM と書く.

    Te(SO(n))

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  3. 追伸;

     線型 な間違い 以外の 【大間違い】 は あまりに多くしちまって いくらなんでもWWWで公表できません
    -----------------------------------------------------

    mistake
    1 誤り,間違い,失策,誤解,思い違い
    a spelling ~  誤つづり
    by ~  間違って
    in ~ for...  …と間違えて
    make a ~ in...  …の点で誤りをする(・makeの代わりにdoは用いない)
    make the ~ of doing  …するという誤りを犯す
    learn from one’s ~s  失敗から学ぶ
    We all make ~s. 《話》 だれにでも間違いはある(・失敗した者への慰め)
    There’s no ~ about it.  そのことに間違いはない, それは確かだ
    It was a ~ (for you) not to go earlier. [=It was a ~ (that) you didn’t go earlier.]  もっと

    早く行かなかったのは君の手違いだ(・あとの文で従節が肯定の場合,つまりIt was a mistake that you went earlier.

    はthatを省かない).
    類語 mistakeは思い違いからくる偶発的な誤り.blunderは無知・不注意からくる,重大な結果を招く愚かな誤り:His

    blunder cost us the victory.彼の大失敗で勝利を逸した.errorは原則や基準からはずれた誤り.また道徳上の過ち:a

    typographical errorタイプのミス/youthful errors若気の過ち.lapse忘却・不注意・怠慢からくる誤り:a lapse of

    memory記憶違い.slipうっかり犯す偶発的な誤り:a slip of the pen書き損じ.
    2 〔法〕錯誤.
    3 間違って妊娠すること.
    and no mistake 《話》《通例文尾において》確かに,間違いなく
    He is a fool, and no ~.  彼は確かに愚か者だ.
    make no mistake (about it) 《文頭や文尾に置き発言内容を強めて》確かに,間違いなく.
    ━ 曠(-took /-t伀/, -tak・en /-t駟kin/)曦[Ⅲ慥(慱)/wh-節]…を誤る,誤解する;…の解釈を誤る;…を(…と)間違

    える,思い違いをする《 for... 》
    ~ the direction [the road]  方向[道]を間違える
    You can’t ~ her.  彼女なら人違いすることなくすぐにわかりますよ
    She is frequently mistaken for her mother.  彼女はよく母親と間違えられる
    There is no mistaking what we must do.  何がなされるべきかは明らかである.
    ━ 間違える,誤る.

    TibuRotei

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