2005年1月12日水曜日

well defined

数学をやっているといろんなところに出てくる考え方である.
直訳すると「よく定義された」かな.ますます意味がわからんな.

高校の数学には出てこないが,数学おける基本的な概念.
何がよく定義されてるんだろう.
気持ちとしては「間違いなく定義されている」という感じ.

この言葉が使われるのは,群論かな.位相かな.基礎論かな.
群論なら準同型写像.位相なら商集合.基礎論なら整数や有理数,実数のそれぞれ自然数,整数,有理数の順序対による定義.

ところが,これは高校の数学でもこの言葉を使いたくなる場面があって,ぐっとそれを飲み込む.

a^(6/4)=a^(3/2)
つまり
[6乗の4乗根と,aの3乗の2乗根は同じになる]
というのは,確認すべき事柄.
「約分したら同じだよ」ではなく,「累乗レベルで同じ」を言ってはじめて,「約分したのと同じだよ.」という結論になる.
それが確認されて
「有理数の指数は well defined である.」
と言いたいなー!でも well defined がわからんと何のことやらなので,知らんぷり.

剰余の計算.たとえば 3 で割った余りが
A=「余り0の集合」,B=「余り1の集合」,C=「余り2の集合」のとき,
A,B,C の要素の計算は 0,1,2 の計算結果を3で割った余りになって,well defined なのだよなー,そしてこれが有限体の概念につながる・・・

無限級数の極限で,
ΣSn=S,ΣTn=T ならば Σ(Sn+Tn)=S+T
もそれぞれ有限和 Sn,Tn の数列の極限で確認されてから成り立つ.
そして,「収束級数の和は well defined である」.
と言いたい.>くろべえ : 0.111…×3=0.333… の証明

そもそも 0.999…=1 に違和感があるのはこれが「well defined」の先にあるのだということに最近気づいた.
約分 3/6=1/2 の well defined は「表記が2つあっても同じだよ」ということ.
上記の例のどれも「表記が2つあっても同じだよ」と言っている様なものだ.
0.999…=1も 「表記が2つあっても同じだよ」 と言っているに過ぎないのだ.理解が難しい人は0.999…が無限の9の羅列であって,1つ数の表記と思えないのだと思う.>くろべえ : 0.999…=1

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