2004年11月5日金曜日

x^n-1の因数分解

x^2-1=(x-1)(x+1)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
これらは高校の範囲.虚数を使えば,
x^3-1=(x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) ただし \omega=\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}
x^4-1=(x-1)(x+1)(x-i)(x+i)
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=(x-1)\left(x^2+\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+1\right)\left(x^2+\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+1\right)\\
=(x-1)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{5}-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}\right)\\ \hspace{40}\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}+i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{5}-i\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}\right)方法
などとなるが,今は有理数の範囲で(虚数i やルートを使わないで)考える.

たとえば,
x^8-1
=(x^4-1)(x^4+1)
=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)
で複2次式を使えば,
x^4+1=x^4+2x^2+1-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt{2}x)^2
=(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)
と実数の範囲で2次式まで因数分解できるが,いまは,有理数の範囲にこだわって,
x^8-1
=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)
でストップする.>虚数の範囲ならこちら


x^2-1=(x-1)(x+1)
x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)
x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)
x^5-1=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
x^6-1=(x-1)(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1)
x^7-1=(x-1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)
x^8-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)(x^4+1)
x^9-1=(x-1)(x^2+x+1)(x^6+x^3+1)
x^{10}-1=(x-1)(x+1)(x^4+x^3+x^2+x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)

これら因数に出てくる係数はすべて 1 か -1 であるから,すべての x^n-1 の有理数の範囲の因数分解の因数には 1 か -1 しか出てこないような気はする.
この事実は n=104 つまり x^{104}-1 までは正しいが,n=105 では係数2が出てくる.
因数分解には数式処理ソフトMathematicaを使った.(2006/11/17 追記 手計算でできる>メビウスの反転公式

x^{105}-1=\\ \hspace{10} (x-1)\\ \hspace{10} (x^2+x+1)\\ \hspace{10} (x^4+x^3+x^2+x+1)\\ \hspace{10} (x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)\\ \hspace{10} (x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)\\ \hspace{10} (x^{12}-x^{11}+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1)\\ \hspace{10} (x^{24}-x^{23}+x^{19}-x^{18}+x^{17}-x^{16}+x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}\\ \hspace{20} +x^{10}-x^8+x^7-x^6+x^5-x+1)\\ \hspace{10} (x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-{\Large 2}x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}\\ \hspace{20} +x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}\\ \hspace{20} +x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^9-x^8-{\Large 2}x^7-x^6-x^5+x^2+x+1)

最後の48次式の因数の7乗,41乗に係数 -2 がある.
n=200 まで調べたら, n=165 , 195 に 2 や -2 が出てきた.
n=200 を超えると,だんだん多くなってくる.n=385 には 3 が出てきた.
n=1000 まで調べたが,4 は出てこなかった.

105=3・5・7,165=3・5・11,195=3・5・13,385=5・7・11 だから n が3種(以上?)の奇数素数の積になっていれば1以外が出てくる気がするが,必ずそうなのかはわからない.
これの規則性はまだ見つかっていないのかな?

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