2004年11月6日土曜日

ユークリッドの互除法

今日は中学生とその保護者を対象に学校を見せて,ついでに模擬授業ということで,くろべえは数学の授業担当.
タイトルは「式と計算」.
1週間前に授業のタイトルを係りに伝えなければならなかったが,もちろんやることはまったく決まっていないので,できるだけ生徒が集まらないように(笑),いかにもつまらなさそうなタイトルを考える.
で結局,内容を決めたのは,昨夜20時ごろ.それから教材を作っていたら22時ごろになってしまった.
ところが当日,「数学」というだけで集まった生徒がなんと16人も!・・・かわいそうに
家庭科室からはいいにおいが・・・
タイトルを見て「式と計算って何をやるのかな?」と思った中学生には迷惑な話で,タイトルとはまったく無関係な,ひたすら約分(爆)
はじめは簡単な
\frac{24}{32}
のようなものから20問.


だんだん素因数が多くなったり,7や11 や 13 でしか割れない,苦しい数にしていくこと20問.
ケータイの電卓も使っていいよということで.
自分も手計算で挑戦.くろべえの2倍くらいのスピードで答えを書く子もいた.

さて,苦しみの頂点に達するころ,ユークリッドの互除法を伝授.(互助法じゃないよ)

これは基本的に引き算である.
正しくは割り算の余りであるが.
すごく簡単に約分(最大公約数)ができるのに,学校では教えていない.
引き算を繰り返して最後に0になる直前の最も小さい数が最大公約数.
(割り算の余りを互いに求めて,割り切れる直前の数が最大公約数)

\frac{24}{32} は 32-24=8, 24-8×3=0 だから 24も32も 8 で割れる.(8が最大公約数)

\frac{4536}{3024}
これは数がでかいだけで小さい数に素因数分解されるから,素因数分解でもやりやすい.
4536=2 2 2 3 3 3 3 7
3024=2 2 2 2 3 3 3 7
より \frac{3}{2} だが,素因数分解の労力ときたら・・・
ユークリッドの互除法
4536-3024=1512
3024-1512×2=0
より分母分子は 1512 で割れて 3/2.一撃!

\frac{1001}{1729}
素因数分解を試みて 7 で割れる(涙)のに気づいて
\frac{143}{247} かな?
実はこの2数はさらに 13 でも割れて
\frac{11}{19} ・・・ひー.わかんねぇよ!
ユークリッドの互除法なら
1729-1001=728
1001-728=273
728-273×2=182
273-182=91
182-91×2=0
より分母分子は 91 で割れて 11/19.

\frac{3960091}{3968039}
というバカヤローな約分もちょろい.
もうこれらの素因数分解は手作業ではあきらめるしかない.
3968039-3960091=7948
3960091-7948×498=1987
7948-1987×4=0
より分母分子は 1987 で割れて
\frac{1993}{1997}
ユークリッドの互除法では最大公約数が求まるので,この分数はこれ以上約分できないわけだが,ためしにどうなるかユークリッドの互除法をやってみる.
1997-1993=4
1993-4×498=1
より,共通に割る数 1 と確認できて,
1993/1997
は確かにこれ以上約分できない.

約分を話題にしているが,実際は最大公約数を求めている.
ユークリッドの互除法は簡単に2数の最大公約数を求める手順であるが,学校では教わらない.
教わるのは,大学の数学科の整数論だろう.数学科では整数だけではなく,他にもいろいろ理論的なことに使うからで,その点もすごく強力なツールである.
普通は割り算は,電卓などで小数 3960091/3968039=0.9979969 がわかればじゅうぶんであるし,数学の問題で巨大な分数を約分することはまずないから,学校では教えないのだと思う.
素因数分解を知っていれば十分という考えである.

でも小さい数でも知っているとスピードが全然違うんだなー.

\frac{168}{192 }くらいでも素因数分解する前に,引いてみる.
192-168=24

24 ×7=168 だから 24 で割れることがわかる.

ということで,今日参加した16人の中学生と7人の保護者,約分や最大公約数でちょっと得した気分になってもらった.

素因数分解がむずかしくても,最大公約数はちょろい.>>Yahoo!知恵袋

約分には,逆数をとって,帯分数にしていくという方法もある.この場合,最後に分子が 1 になったときの分母で約分ができる.
これもやってみれば,同じ原理であることがわかる.

追記「ユークリッドの互除法の証明」

7 件のコメント:

  1. すみぴょん2009年4月15日 20:52

    へぇ! ほんとに得した気分です^^  中学生に教えてあげてほしい~~
    私も中学生にもどって、習いた~い!

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  2. すみぴょん2009年4月15日 20:52

    ・・しっかし、魔法ですね♪  っていったら数学の先生に叱られそう~  「いえ、ちゃんと証明できますよ、なんなら証明しましょか?」って。。  いらんいらん^^:

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  3. マジックですね.種明かしが「証明」
    でも,約分って使います?

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  4. すみぴょん2009年4月15日 20:53

    子供のころ、約分が好きでよくしましたよ^^ 小学生の姪と約分の競争をしたりしてます たのし~~♪

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  5. けが人マル2009年4月15日 20:53

    数学トリビア!金の脳を差し上げますw

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  6. すみぴょんさん,それはそれは.ぜひ技を伝授してあげてください.
    けが人さんほんとにトリビアですよねぇ

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  7. すみぴょん2009年4月15日 20:53

    あいあい♪ そうさせていただくつもりで~す♪  喜ぶ顔が目に浮かぶ^^

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