2004年10月12日火曜日

数表

三角関数表
角度  sin    cos    tan
0°  0.0000  1.0000  0.0000
1°  0.0175  0.9998  0.0175
2°  0.0349  0.9994  0.0349
3°  0.0523  0.9986  0.0524
・・・   ・・・    ・・・    ・・・

どうやって計算したのですか?実測ですか?

数表を見ていると,そう思ってしまうが,実測ではない.数式があって計算をする.
江戸時代にはすでにその数表,八線表もあった.
実測でこんなに桁数を出すのは無理.
高校の教科書の数表はせいぜい小数4桁だが,昔の数表は7,8桁出ていた.そんな桁数を出すには実測では不可能である.
級数計算を使う.
x は弧度法(1周2πで測る)のとき,


\sin x = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\cdots

という級数展開(テイラー展開)になる.30度=π/6 のとき sin30度=0.5 だが,google の電卓では第5項つまり,

x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}

で,0.5に収束してしまった.

sin がわかれば残りは,級数展開は不要.
cos は角度をsinと逆順にすればOKだし,tan=sin/cos,八線表の cot, sec, cosec はそれぞれ tan, cos, sin の逆数.

表記の説明
3! は3の階乗 3・2・1=6
つまり
sin x = x-xxx/6+xxxxx/120-xxxxxxx/5040+xxxxxxxxx/362880
で google の電卓には十分な桁数が得られる.
実際の計算機やコンピュータではもっと高速なCORDICという方法を使っているが.

この級数展開において,x に虚数単位 I を(i^2=-1)を代入して,sin i=1.17520119 と求まる.コンピュータでは級数展開の多項式に代入しているだけである.

この機能のおかげでオイラーの等式e^{\pi i}=-1 確かめられる.
i^i^i だって,\tan(2+3i) だって 2^{(\tan i)} だって求まる.

虚数の角度にはどんな意味があるのだろう・・・

意味は無い.
微分の知識で級数展開(テイラー展開)したものに虚数を代入しただけ.値は求まり,「複素関数」として意味を持つが,いわゆる「角度」といった概念はない.
くろべえ: 虚数の三角関数

小学校で習う「大きさ」の概念を,負の数に引きずると,負の数が理解不能になる.
sin(虚数) で虚数に角度を引きずると複素関数は理解できない.

見えないものがなんの役に立つのか?

電磁気学.目に見えない電気,磁気の理論は複素数を使うとすっきり書ける.
くろべえ: 虚数の存在
くろべえ: 1アマ国試

フェルマーの定理を解決した代数多様体論は複素数3次元,つまり実数6次元の世界.
複素関数論は非常に美しくきれいな世界.理論もすっきりしている.
実数に限定した微積分はなんだかどろどろしていて,本当に現実世界のようだ.

3 件のコメント:

  1. すみぴょん2009年4月5日 15:19

    美しくきれいな世界も、どろどろの現実世界も、チンプンカンプンです^^; ごめんなさい(|>__<|)

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  2. けが人マル2009年4月5日 15:19

    複素関数苦手でした。゜(゜´Д`゜)゜。単位ギリギリw

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  3. 江戸時代の数学もたいしたものでした.
    複素関数・・・「おれ,頭悪ぅー」と思いました.で,ガロア理論で撃沈したのに,なぜか4年のゼミではホモロジー代数.あの世の世界.

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