2004年10月17日日曜日

円周率の数値計算

円周率は円周と直径の比である.
たくさんの桁数が求まっている.
もちろんこれも実測するわけではない.公式がある.
高校の知識で求まる公式の一つが,ライプニッツの公式.
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}+\cdots=\frac{\pi}{4}$
というもの.

ここから先はくろべえのメモ・・・・




初項a,公比rのn項までの等比数列の和の公式
$a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

これって,展開(因数分解)の公式でもある.
$(x-1)(x+1)=x^2-1$
$(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=x^4-1$
$(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=x^5-1$

$(x-1)(x^{n-1}+\cdots+x^3+x^2+x+1)=x^n-1$

両辺を $x-1$ で割ると
$x^{n-1}+\cdots+x^3+x^2+x+1=\frac{x^n-1}{x-1}$

両辺を a 倍すれば等比数列の和の公式完成.
あ,右辺の分母分子をそれぞれ $-1$ 倍も.

初項1,公比rのn項までの等比数列の和は
$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}=\frac{1-r^n}{1-r}$
より,これで $r=-x^2$ とすると
$1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^{n-1}=\frac{1-(-x^2)^n}{1+x^2}$
$1-x^2+x^4-\cdots+(-x^2)^{n-1}=\frac{1}{1+x^2}-\frac{(-x^2)^n}{1+x^2}$
$\frac{x^{n+1}}{n+1}$ になるので,
左辺を積分区間を0~1で積分すると
$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$

右辺の積分は
$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx$
右辺の第1項は$\frac{\pi}{4}$ になる.(数学IIIの教科書に必ず出ている積分)
$\int\frac{1}{1+x^2}dx$
で $0\le t\le\frac{\pi}{4}$ となり,
$dx=\frac{1}{\cos^2 t} dt$(置換)
$\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\int_0^1\frac{1}{1+\tan^2 t}\cdot\frac{1}{\cos^2 t} dt$
$1+\tan^2 t=\frac{1}{\cos^2t}$ (数学Iの公式) だから約分できて
$=\int_0^1 1 dt=t$
で積分区間 $\frac{\pi}{4}$である.
よって右辺は
$\frac{\pi}{4}-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$

左辺を $S_n$ とおく.
$S_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$
つまり
$S_n=\frac{\pi}{4}-(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$
より
$\frac{\pi}{4}-S_n=(-1)^n\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx$
になる.

この積分は0に収束する.(数学IIIに必ず出ている積分の単調性を使った証明)
$0\le x\le 1$ のとき,
$0 \lt \frac{x^{2n}}{1+x^2} \le x^{2n}$
だからそれを積分して
$0 \lt \int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2}dx\le \int_0^1{x^{2n}}dx$
$\int_0^1{x^{2n}}dx=\frac{1}{2n+1}$
$\frac{1}{2n+1}\to0$ となるからはさみうちの原理で,
$\int_0^1\frac{x^{2n}}{1+x^2} dx\to0$


よって $\frac{\pi}{4}-S_n\to0$,つまり
$\lim_{n\to\infty}{(\frac{\pi}{4}-S_n)}=0$
$\frac{\pi}{4}=\lim_{n\to\infty} S_n=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots$


これがライプニッツの公式.(数学IIIまでの計算技術で求まる.実際,W大の入試問題に出た.)

ライプニッツの公式は収束は遅く,現代の円周率の計算にはもっと高速に収束するものが使われる.
高校の数学の知識で求めることのできる高速な公式は,1704年にマチンがライプニッツの公式を改良した式.


$\frac{\pi}{4}=(\frac{4}{5}-\frac{4}{3\cdot 5^3}+\frac{4}{5\cdot5^5}+\frac{4}{7\cdot5^7}-\cdots)-(\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot239^3}+\frac{1}{5\cdot239^5}+\frac{1}{7\cdot239^7}-\cdots)$


$\tan$ の加法定理(数学II)より
$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}=\frac{5}{12}$
さらに
$\tan4\alpha=\frac{2\tan2\alpha}{1-\tan^2 2\alpha}=\frac{120}{119}$
$4\alpha\gt\frac{\pi}{4}$
$\beta=4\alpha-\frac{\pi}{4}$ として,
$\tan\beta=\tan(4\alpha-\frac{\pi}{4})=\frac{\tan4\alpha-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan4\alpha\tan\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{120}{119}-1}{1+\frac{120}{119}}=\frac{1}{239}$

この $\arctan$ をつかって
$\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan\frac{1}{5}-\arctan\frac{1}{239}$


一方 $t=\arctan x$ とおいたとき,
$t=\int\frac{1}{1+x^2}dx=x-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}-\cdots$
だったので,
$\arctan x = x-\frac{1}{3x^3}+\frac{1}{5x^5}-\cdots$
$\frac{1}{239}$ を代入すれば,マチンの公式が完成する.

ライプニッツの公式の第4項までの和
$4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7})=3764/1155=2.8952381$
3.14 にはだいぶ遠い.

マチンの公式の第4項までの和
$4( (\frac{4}{5}-\frac{4}{3\cdot 5^3}+\frac{4}{5\cdot5^5}-\frac{4}{7\cdot5^7})-(\frac{1}{239}-\frac{1}{3\cdot239^3}+\frac{1}{5\cdot239^5}-\frac{1}{7\cdot{239^7}}))=3.14159177$
3.14159265 にだいぶ近づいている.

現代の桁数アップ競争は,いかに収束の速い式を導くかにかかっている.
関連サイト 1 2 3


linked: 1 2 3

追記「関孝和」

4 件のコメント:

  1. すみぴょん2009年4月8日 22:28

    円周率 3.14 (最近じゃ 3 とみなしてるし) それ以外に考えることアル?

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  2. ないです(^^;)ヾ・・・ってゆうじゃない?......
    ぜんぜん使いませんから.円周率. 残念!
    円周率小数,斬りッ!

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  3. 私もマチンの公式を用いて円周率を1000桁計算した事がありますが、マチンの公式がどの様に導き出されるかは知りませんでした。
    やはり、公式を使うには公式の導き方を知っておかないと気持ち悪いですよね。
    非常に分かりやすい説明で理解する事が出来ました。
    それから、4α=arctan(4/5)では無くて4α=4arctan(1/5)ですね。

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  4. ありがとうございます.直しました.
    当時3年の授業で毎年のようにライプニッツの公式を導いて見せていたのですが,授業を受けた生徒がW大の入試で
    「見たことあると思ったけれど,できなかった」
    といっていました.

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