2004年9月24日金曜日

無限小数

たとえば,円周率π=3.1415926.... は循環しない無限小数である.
すでに1兆桁くらい求まっているが,どんなに時間をかけてもすべてを書き表すことはできない.(だから無限小数)
直径1mの円周の長さは π=3.141592653...m これって求まったことになるのか?
と思う人もいるようだが,「求まったことにする」のが数学的態度.

数学では「無限小数」は「実数」として数直線上存在するとして,理論を展開する.

無限小数のすべての桁数を書き表せなくても,数直線上にπの位置が存在するとして理論を構築する.

無限小数をすべて並べることは不可能だが,数学は「そこに数がある」というイメージを公理化した実数の公理系で矛盾なく理論を展開することができる.
そして,時間をかければ必要な桁数を求めることができる.
「そこに数がある」のイメージの公理は別名「実数の連続性の公理」といい,「正しいことが要請される命題」.
信じようが信じまいが実数論ではその公理を仮定して矛盾のない理論を展開する.


連続の公理を要請すれば,円周率という実数は存在するわけだが,それは定義,またある種の「信仰」ともいえる.
だから,「無限小数なんて確定したひとつの数とはいえないよ」と信仰すれば,円周率はもちろん,正方形の対角線の長さ√2も,1メートルを3等分した長さ1/3も,存在しないことになるな.
存在する数を,たまたま10個の数字で表すと,無限に続くだけである.


数学や科学ははそういった「仮説」や「事実」の集合体で,それが真実かどうかには無関心である.
「そこに数がある」で矛盾がなければ,真実かどうかには無関係に数学的対象になるわけだ.

6 件のコメント:

  1. すみぴょん2009年4月3日 1:08

    今までで、初めてわかったよ~な気がします^^
    無限小数が信仰に発展するのには驚きました おもしろ!
    最近、円周率π=3とみなすような教育じゃ想像力すら退化してしまいますね
    簡単がいいって言いきれない。。特に数学は。。。

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  2. 『「円周率π=3とみなす」が話題になった年の東大入試が秀逸.
    「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」
    個人的にばかうけ
      ・・・「ばかうけ」ってお菓子(せんべい?)おいしいよね.

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  3. すみぴょん2009年4月3日 1:09

    へぇぇ~~~ 証明問題ですかぁ  「ばかうけ」ってお菓子、見たことも聞いたこともないけど、それを探すよりず~~~っと、難しそうだゎ^^;

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  4. 「おいしさばかうけ」だそうです.
    www.baka.ne.jp/home/images/shouhin/2003aonori.jpg

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  5. 無限に続くというのが実数っていうのがよくわからない原因の気がするのですが・・・?つまり深く考えるなってことですかねえ?

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  6. 人間は有限の時間しか生きられないというのに,無限を想像できるのです.
    無限小数も人間の想像の産物です.数学はそういった架空のものを対象にした学問です.「本当に?」といわれたら「わからない」といって深く考えないのです.
    ちなみに自然数論の無矛盾性の証明は,ゲーデルによって不可能であることが,証明されていますが,無限に長い証明図を認めれば可能であることも数学的に示されています.これも「論理的に示された」わけであって,「本当か?」といわれたら黙るしかない.
    さらに,数字の1, 2, 3 (言語)だって人間の創作物.米4粒と,りんご4個と,自動車4台,これらがみな「4だ」と思えるのは人間の想像力.犬や猫は米とりんごと自動車に共通するものを,それがたとえ4つずつあったとしても想像することはできない.
    「想像」とは勝手なもので,数学者は「無限小数も一つの数だ」と想像して,それが不都合を起こさないように,うまくつじつまを合わせた体系を作り上げてしまったわけです.

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