2004年9月18日土曜日

0.999…=1

0.999…=1 である.これは「定義(きまり)」である.
同じものに対して,2つの表記を用意しただけ.慣れていないと気持ちが悪いが.

0.999…=1 と定義する理由は
0.999…=0.9+0.09+0.009+…
0.9+0.09+0.009+…は初項0.9 公比0.1 の等比数列となり,その極限は 1 だから.
そこで 0.999…=1 と定義した.

0.999…=1 は「見た目が気持ち悪い」「感覚的に変な感じ」がするだけ.
0.999…=1 に合理的な不都合を指摘してくれたら,0.999…<1 とでもなるだろう.

0.999…<1 ならば数の性質(稠密)から
 0.999…<a<1
となる a が存在するはず.それを示せない以上 0.999…=1 とするしかない.

稠密とは p<q ならば,p<r<q となる数rが存在することをいう.
たいてい, p<q ならば r=(p+q)/2 の存在を言えばOK.
ということは,
 a=(0.999…+1)/2
を計算してみればいい.
 0.999…+1=1.999…
 1.999…/2=0.999…
あれれ,a=0.999… となってしまった.つまり0.999…と1の間に数はない.

あるいは,
 1/3=0.333…
 (1/3)×3=0.333…×3
 1=0.999…
で不都合は起きない.

さて,無限の数字を表す「…」に「÷2」とか「×3」が可能かという問題があるが,結論から言うと可能.

「…」を「極限」で定義してしまえばよいのだ.
0.111…×3=0.333… の証明

一方,0.999…<1 なら上に書いたすべてのことにぼろぼろ不都合が起きる.

0.999…=1 と定義してなんら不都合が起きない.
「不都合が起きない以上,今のところ 0.999…=1 と定義しよう」
というのが数学,ひいては自然科学の「態度」である.
0.999…=1 はそれで不都合が起きないだけの「仮説」である.

数学や自然科学は合理的な仮説の集合体で,真実はない.
「いまのところ,0.999…=1 で不都合がないから,そう決めとこう」
くらいな気持ちである.
数学や自然科学の専門家は,誰も数学や科学が真実だとは思っていないし,真実を追究している人は一人もいない.追究するのはより合理的な「仮説」.
「0.999…=1 で不合理がおきたらそのときに考えるね.」

真実とは「愛は地球を救う」とか「生命は大切」とかたくさんあって,人生とはそういうものを追い求めるもの.
そして,哲学や宗教はそれを体系化したり,実行するもの.そのときに自然科学の合理的な仮説を用いてみんなで幸せになろうよ,というのが自然科学の位置づけなんだな.

断言する.
数学には真実はない.科学に真実はない.
数学や科学で真実を追求するのは無駄なこと.

という文章,以前も書いた.>「0で割る」に見る科学的態度

12 件のコメント:

  1. すみぴょん2009年4月3日 0:04

    フムフム。。 私の頭の中は矛盾だらけ^^;

    返信削除
  2. それが人間.
    科学や数学,言語は,矛盾だらけの精神世界のごくごく一部・・・

    返信削除
  3. 知恵袋での「パクられ」をきっかけにここにたどり着きました。
     中学校の先生が同じ計算をして、驚かしてくれたことを思い出し(現在27才です)、しばし懐かしさを楽しみました、、。慣れてないだけ、なのでしょうけれども、面白いと思わず興奮してしまいます、、。

    返信削除
  4. しんじさん,コメントありがとうございます.まぁ数学(合理性)とは,俗世間からかけ離れた特殊な世界であることは確かです.

    返信削除
  5. そもそも0.333・・・で3に3を掛けても末尾0にはならない気がするのですが。
    どうなんでしょう?

    返信削除
  6. まず末尾は存在しません.そして,3をかけると9が並ぶだけです.
    そしてその9の並びのまま「0.9999…=1 で矛盾が起きない」といっているだけです.「0.9999…<1」では矛盾が起きるだけです.
    「0.9999…=1」でおかしいと思うのは「感覚」だけです.
    論理的な矛盾を指摘できれば,その時点で「0.9999…≠1」が数学の常識になりますから安心してください.

    返信削除
  7. 末尾がないのに1.0と等号っていうのが理解できないです。感覚的ということなんでしょうか?ところで0.9・=1で矛盾が起きなくて0.9<1だと矛盾が起きるなら論理的な矛盾が指摘できないことになるのでは?矛盾というのはどちらか正しいかどちらも間違ってるの2つしかないと思うのですが。しつこくてもうしわけない。

    返信削除
  8. よくわかりませんが・・・「矛盾」という言葉がよくなければ,「不都合」ということにしておきましょう.
    数学では1.000…と0.9999…は同じ数を表すことに決めていますが,その理由はこれで不都合が起きないから.
    不都合が起きたら,不都合が起きないように定義をしなおします.
    数学というのはこうして,「不都合が起きないように」体系を「決めて」,「不都合が起きない体系だけ」を対象にし議論するという,人間の不条理な精神世界から見れば,ごくごく狭い範囲の学問です.
    釈迦やキリストが一生をかけた人生の根本問題は数学の対象外であるように,「1.000…=0.9999…は真実か?」に答えることは私には到底できません.「真実かどうかは知らないけれど1.000…=0.9999…と決ーめた!」ということです.
    ですから「定義した.それで不都合が起きない」より詳しい解説はできそうもありません.すいません,これ以上はわからない,お手上げです.

    返信削除
  9. 何点か不都合がある気がするのですが、今の数学ではないことになってるんですね。俺としては「無限に続く」という仮定に無理があると思ってるんですが。わからないものはわからないと言える姿勢がすばらしいと思います。ありがとうございました。

    返信削除
  10. ところでいろいろな数学板をまわってみましたが無駄な争いである原因がわかりました。1数学では数式で証明できればいい。2現実におきかえられなけれ意味はない。この2つの意見がかみ合ってない原因のようです。これは数学の話であり現実の証明は数学の範疇ではないというのを最初に付けとけば無駄な争いがなくなると思うのですが。

    返信削除
  11. (数学科大学院卒)私の記憶と意見ですが 
    ①1=0.999・・・が定義と言う記憶がありません。
    ②よしんば それが定義であったとするならば 今後それは
    削除すべきであると考えます。
    結論は 等しく無いと言うべきです。
    なぜならば ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学において
    等しいと言えないからです。計算上では等しいと証明できますが
    平行線のみ状況が変わってしまいます。
    私の考えは 1は直線 0.999・・・は 無限巨大円の曲線と
    考えています。(説明は長くなるので省略)
    私がいつも考えていることは 数学=考える であるべきです。
    したがって 意味の無い定義は どんどん削除したり手直しが必要と考えています。
    たとえば 素数の定義に
    1と自分自身以外に約数をもたない自然数のうち1でないものを
    素数という などが有りますが この様なぶざまな定義も 直す
    必要があると考えています。
    私だったら 素数とは 約数が2個だけ存在する自然数を言う。と
    定めます。
    1=0.999...と暗記するとすでに数学でないように感じるのです。
    私の師 栗田稔先生(名古屋大学名誉教授)も同様の意見でしたが
    いつも 1/3=0.333...の両辺を3倍だと言いつつイクオールでは
    無いなんて言っていました。^0^イクオールとは いかなる場面でも
    等しくならなくてはならないではないでしょうか?
    いつまでも数学を愛している人として 高飛車の文章お許しをm(_ _)m

    返信削除
  12. 1=0.999...
    は紛れも無い事実なので,削除しません.

    1と0.999...は十進小数展開という数字の羅列によって捉える枠組みにおいて、寸分違わず等しい。
    個人のブログではなく,もっと有名な場所で議論願います.
    http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999...

    極限を元に実数を定義することは普通に行われています.
    (1+n^-1)^n→e
    x∈有理数,x→√2のとき,2^x→2^√2

    「数学=考える であるべき」
    同感です.
    考えた末に適切な定義を与えるのであって,定義することにより思考が停止するわけではありませんね.
    定義だから考えるの不要で暗記すれば良いというのは,受験数学に毒されています.

    返信削除

「コメントの記入者:」は「匿名」ではなく,「名前/URL」を選んで,なにかニックネームを入れてください.URL は空欄で構いません.