2016年2月28日日曜日

数学的帰納法

「2の奇数乗を3で割った余りは2」
を前回の記事で,2項定理を使ってゴリゴリやる方法と,合同式を使ったスマートな方法でやってみた.>以前の記事
が,もう一つ,induction でもいいな.こっちも「ごりごり」に比べれば多少簡潔.

正の奇数 \( q\) に対して \(2^q\) を 3で割ると余り2の証明
\(q=2n-1\) とする.
\(n=1\)のとき,\(q=1\) より \(2^1=2\) を3で割ると余り2より成り立つ.
nのとき成り立つと仮定すると,
\(2^{2n-1}=3k+2\)(\( k\)は整数)
と表せる.
両辺 4 倍すると,
\(4\times2^{2n-1}=4\times(3k+2)\)
\(2^{2n+2-1}=12k+8\)
\(2^{2(n+1)-1}=12k+6+2=3(4k+2)+2\)
より,n+1のときも3で割って2余る.
したがって,すべての \( n\) について成り立つ.

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