2015年9月3日木曜日

(゚∀゚)

キタ━━(゚∀゚)━━ッ!!
に使われる論理記号.

「∀x 式」 は「すべて(任意)の x について,式が成り立つ.」
「∃x 式」 は「x が存在して,それついて式が成り立つ.」
という使われ方をする.述語論理の記号である.>以前の記事 「すべて」と「ある」

これらの記号の出し方は,「すべて」で変換すると∀,「そんざい」で変換すると∃という記号が出る.∀は「きたー」でも出せるかもw

論理式 Lxy を「x loves y」(x は y を愛する)とする.(ただし変数はヒト)
先日の講習での論理学の演習.
ネットで検索すると,たくさん出てくる.ちょっとした演習問題らしい.

∀x∃y Lxy 「すべて x について,yが存在して,x は y を愛する.」
自然な言い回しにすると,「すべての人は,誰かを愛する.」
ふつうはこれかな.
世のすべての人を嫌う破滅的な人もいるかもしれないから,
∃x∃y Lxy 「ある人を愛する人がいる.」
がこの世の中かな.

こんな具合に,∀や∃や変数をいろいろいじるといろんな命題ができる.

∃x∀y Lxy 「すべての人を愛する人がいる.」xは聖人ですね.
∀x∀y Lxy 「すべての人が,すべての人を愛する.」皆が聖人.けんかや戦争など起きません.

y is loved x にしてみる.
∀y∃x Lxy 「すべての人が,誰かに愛される.」孫は絶対に祖父母から愛される.(自分の経験w)
∃y∀x Lxy 「すべての人に愛される人がいる.」真のアイドルだ.

否定を組み合わせるともっと複雑でおもしろい.
先日の講習ではここから2つほど問題に出た.

高校の数学では,命題を表す記号の上に横線を引く.これだと画像を使わないとネットでは書けない.
\bar{p\rm{ or }q}=\bar{p}\rm{ and }\bar{q}
このド・モルガン法則を「ひてい」を変換して出てくる記号 ¬ で書き直せば,
¬(p or q)=¬p and ¬q
と書けば,画像に頼ることなくブログに書ける.

Lxy の否定,¬Lxy 「x does not love y」(xはyを愛さない=嫌い)

∃x∃y ¬Lxy 「誰かが誰かを嫌う.」皆聖人ではないからね.
つまり「皆聖人」=「∀x∀y Lxy」を否定しているので,
∃x∃y ¬Lxy = ¬(∀x∀y Lxy)
ということになる.これが,ド・モルガンの法則.

ド・モルガンの法則は,全体否定と部分否定の入れ替えの法則である.
∀や∃の否定は.
「すべての x で式が成り立つ」を否定すると「式が成り立たない x が存在する.」
だから,
¬(∀x 式) = ∃x¬(式)
¬(∃x 式) = ∀x¬(式)・・・「あるxで式が成り立つ」の否定が「すべての x で式が成り立たない.」


∀x∃y¬Lxy どの人もだれか愛さない人が存在する.
ド・モルガンの法則によれば,
∀x∃y¬Lxy = ¬(∃x∀y Lxy)=¬(聖人がいる)=聖人はいない.

∃x∀y¬Lxy だれも愛さない人がいる.
ド・モルガンの法則によれば,
∃x∀y¬Lxy = ¬(∀x∃y Lxy)= ¬(すべての人は,誰かを愛する.)

さて,
∀y∃x¬Lxy すべての人が誰かから嫌われる.
はまだしも,
∃y∀x¬Lxy
はかなり気の毒だし,
∀x∀y¬Lxy
は,社会の破滅.

二重否定は肯定というのは論理学の基礎で,排中律という.
¬¬A=A
でも,日常語の二重否定は婉曲な言い回しをしたいときに使われるから,そこが論理と違うところではある.
が,もしかしたら,¬¬∀ が ¬∃¬ になったりするのとなにか関係あるのかもしれぬ.

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