2014年6月6日金曜日

本日の計算 y=2 arccos(√(x+1)/√2)の微分

コメントで質問されたので,計算w>以前の記事

\(y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{y}{2}=\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
\(\cos\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
両辺を x で微分

左辺は
\(\frac{d}{dx}(\cos\frac{y}{2})=-\sin(\frac{y}{2})\frac{d}{dx}(\frac{y}{2})=-\sin(\frac{y}{2})\times\frac{1}{2}\times{y'}\\=-\sqrt{1-\cos^2(\frac{y}{2})}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\sqrt{1-(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}})^2}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\sqrt{1-\frac{x+1}{2}}\times\frac{1}{2}\times y%27\\=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{2}}\times y%27\)

右辺は
\((\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}})'=(\frac{1}{\sqrt{2}}(x+1)^{\frac{1}{2}})'\\=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}(x+1)^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{x+1}}\)

したがって,
\(\frac{1}{2\sqrt{2}\sqrt{x+1}}=-\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1-x}{2}}\times y%27\)
\(\frac{1}{\sqrt{x+1}}=-\sqrt{1-x}\times y%27\)
\(y%27=-\frac{1}{\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

一方,
\(y=\arccos x\)
の微分は,
\(\cos y=x\)
の両辺を微分して,
\(-\sin y\times y%27=1\)
\(y%27=-\frac{1}{\sin y}=-\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2y}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)

これは,
\(y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
の微分と同じである.

実際,
\(y=2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
から,
\(\cos\frac{y}{2}=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}\)
両辺2乗
\(\cos^2\frac{y}{2}=\frac{x+1}{2}\)
半角公式により
\(\frac{1+\cos y}{2}=\frac{x+1}{2}\)
\(\cos y=x\)
\(y=\arccos x\)

つまり,元々,
\(2\arccos\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{2}}=\arccos x\)
は恒等式である.

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