2014年5月2日金曜日

複素数の導入

自分は実数と数直線は同値だと思っている.>以前の記事「実数のココロ」

教科書では
「x^2+2x+3=0 の解は,√(-2) が出てきて存在しないけど,云々」
という書き方をしている.

自分はもう少し突っ込んで,数学I の2次関数で習ったことから導入する.
y=x^2-x-2 と x軸との交点の x 座標が 方程式 x^2-x-2=0 の解である.
y=x^2-x-2

でも,2次関数 y=x^2-2x+5 はx軸と出会わない.
y=x^2-2x+5

このとき,√の中がマイナスになる.
だから,√の中がマイナスの数は,「数直線上にはない」

そして,教科書に戻る.教科書は,
「2乗して -1 になる新しい数を i とする」
と書いてあるけれど,自分はもう少し突っ込んで
「2乗して -1 になる数直線上にはない新しい数を i とする」
と付け加える.
あくまで,数直線上にないことを強調することを意識している.
「マイナス×マイナス だから,数直線の数の2乗はいつも0以上.2乗がマイナスになる i は数直線上にはない」

数直線上にないので1列に並べられず,大小もない.(正確には順序体ではない)

数直線上にはないけれど,平面上に表現できて,それが複素平面.
で,これをバリバリ使うのが物理や工学なわけだ.
電気や波動は複素数を使わねば面倒なことこの上ないし,量子論は本質的に複素数を使わねば表現できない.

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