2014年2月20日木曜日

分点の作図

分点といえば,一番簡単なのが中点の作図.
中点といえば,すぐ思いつくのが垂直二等分線の作図.


2等分はたやすいが,3等分,23等分とかは,三角形の辺と平行な直線を用いて,作図する.

教科書の問に,線分を1:3に内分する(4等分の)点と,2:3 に内分する(5等分の2個目の)点の作図があった.
例題に 1:2 に内分する(3等分の)点の作図が出ているから,まぁ,「真似しよう」というわけだ.

線分ABの端点Aを通り線分に平行でない直線をとり,その直線上に5等分なら端点からコンパスでおなじ間隔に5個の点を取る.
5個目の点G と B を結び, GB と平行で 2個目の点を通る直線と AB との交点が答えとなる.

三角形の辺と平行な直線の性質である.

平行線の作図ももちろん平行四辺形の作図(2辺の長さをコンパスでコピー)であって,図工の時間のような方法(定規を直線上にずらす)をとってはいけない.


そして,
「4等分なら2等分(垂直二等分線)が2回でできるけどね.」
と別解.

すると,
「5等分も2等分を何回か繰り返せばできませんか?」
との質問.

これはできない.

つまり,
1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,・・・
の組み合わせで,
2/5
が作れるかという問題であるが,これは有限個では不可能.

実際,
3/8 + 3/128 + 3/2048 + 3/32768 + ・・・
(初項 3/8 公比 1/16 の等比級数)
の極限は
(3/8)÷(1 - (1/16))
=(3/8)÷(15/16)
=(3/8)×(16/15)
=2/5
なので,
1/4 + 1/8 + 1/64 + 1/128 + 1/1024 + 1/2048 + 1/16384 + 1/32768 + ・・・
となり,有限回の2等分では 2/5 を作図できない.

これって十進法の有限小数 0.4 が二進法では
0.011001100110011・・・
という無限循環小数となることを意味している.

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