2013年10月8日火曜日

素数の音楽

録画をやっと見たw >NHK オックスフォード白熱教室

先生が音色や倍音の説明(フーリエ展開)のとき,トランペットでチャーリー・パーカーを吹いていた.

リーマン予想は,「ゼータ関数の自明でないゼロ点の実部は 0.5」というもの.
「ぼくは,数学のテストがゼロ点だ.」
と言いたくなる人は多いだろうw

「実部」は複素数 3+7i の 3 のこと.
つまりゼロ点は 0.5 + □i の形になっているという予想.

じゃあゼータ関数って? というのは置いといてw

複素数といえば,「波」である.
テレビでは次の波動の式は出なかったけど,複素数 a+bi について,
\(e^{a+bi}=e^ae^{bi}=e^a(\cos b+i\sin b)\)
において,実部\(e^a\)が振幅,虚部\(e^{bi}\)の bが角速度で,それを 6.28 で割れば振動数.>以前の記事「研究授業」

だから,ゼロ点は \(e^{0.5 + b i\) において,振幅=音量がすべて一定の e^0.5 だ.ということ.
そして,虚部つまり振動数 b が大きな「倍音成分」が加わるほど,ゼータ関数は「素数階段」に近づくという説明をしていた.
つまり,ゼータ関数のゼロ点は,素数階段の近似値,それでできた波形が「素数の音楽」
これは面白い! 難解な数学をこうしてわかりやすく伝えられるというのも才能だ.すごい.

以前見たNスペの「ゼロ点は直線に並ぶ」より,面白かった.
以前の記事「Nスペ」


さて,ゼータ関数は
\(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots\)
つまり「自然数の累乗の逆数の和」である.

s=1 だと,
\(\zeta(1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\)
は発散する.>以前の記事「慣れていない」
WolframAlphaの計算

s=2 だと,
\(\zeta(2)=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots \\
=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots\)
π^2/6=1.6449 に収束する.>以前の記事「sin の因数分解」
WolframAlphaの計算


こんな「自然数の累乗の逆数の和」でしかないゼータ関数は,素数の式の無限積で表せる.
だから素数と密接な関わりがあるわけだ.>以前の記事「調和級数と素数」

ゼロ点とは,
\(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots=0\)
になる s のこと.
具体的には,s が負の偶数 -2,-4,-6,・・・ ならゼロになる.これはすぐわかるという意味で,「自明なゼロ点」という.
WolframAlphaの計算


自明でないゼロ点の例が s=0.5+14.135i
\(\zeta(0.5+14.135i) \\
=1+\frac{1}{2^{0.5+14.135i}}+\frac{1}{3^{0.5+14.135i}}+\frac{1}{4^{0.5+14.135i}}+\cdots \\
=1+(-0.658522 + 0.257583 i)+(-0.568117 - 0.102839 i)+(0.367302- 0.339249 i)+\cdots \\ =0\)
他の自明でないゼロ点は
0.5+21.022i,0.5+25.011i,・・・
でいつも「実部が0.5」というのがリーマン予想.

これが解決したら,素数を求める式がわかって,巨大数の素因数分解が多項式時間で終わるから,現在のネットの暗号化は使えなくなる.>以前の記事「公開鍵暗号(RSA)をわかる4」

1 件のコメント:

  1. 書籍の方の『素数の音楽』はお読みになりましたか?
    こっちもすごく面白いですよ!

    返信削除

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