2013年7月23日火曜日

リゾルベントの値

-1 の7乗根「リゾルベントの3乗の積」のつづき

前回までで,「リゾルベントの3乗の和」と,「リゾルベントの3乗の積」が計算できた.

和と積がわかれば,2次方程式を解いて,それぞれ求まる.
和と積からそれぞれ元の数を求める問題は,4000年前のバビロンの粘土板に書かれるくらい古い問題である.>YBC 4663

深く考えなければ,連立方程式 u+v=和,uv=積 から,
v=和-u を代入して,
u(和-u)=積
和u-u^2=積
0=-和u+u^2+積
u^2-和u+積=0
となるけれど,高校の数学IIで扱う「解と係数との関係」から和 a+b と積ab がわかれば,それぞれは,
(u-a)(u-b)=u^2-和u+積=0
の解となる.

ラグランジュ・リゾルベントの3乗の和は -7,3乗の積は 343.
つまり,
\(L_{1}^3+L_{2}^3=-7\), \(L_{1}^3L_{2}^3=343\)
なので,ラグランジュリゾルベントの3乗 \(L_{1}^3\),\(L_{2}^3\)は
\(u^2-(-7)u+343=0\)
の解である.これを解いて,
\(u=\frac{7}{2}(-1\pm3\sqrt{3}i)\)

和と積から作られたこの2根は対称だから,どちらが\(L_{1}^3\)でも,\(L_{2}^3\)でもよい.
\(L_{1}^3=\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\)
\(L_{2}^3=\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\)
とすると,
\(L_{1}=\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}=2.20291+1.46533i, \\
\left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega=-2.37047+1.17511i, \\ \left(\frac{7}{2}(-1+3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega^2=0.167563-2.64044i\)
\(L_{2}=\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}=2.20291-1.46533i, \\
\left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega=0.167563+2.64044i, \\ \left(\frac{7}{2}(-1-3\sqrt{3}i)\right)^{\frac{1}{3}}\omega^2=-2.37047-1.17511i\)
ただし,ωは1の原始3乗根\(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)

こうして見ると,ラグランジュリゾルベントは,カルダノの方法における,u,v であることがわかる.>以前の記事「1の7乗根」

ここから,リゾルベントと解との関係で解を復元してゆく.
つづく

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