2013年6月29日土曜日

x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解の使い道と世界平和

x^3+y^3+z^3-3xyz を検索すると,因数分解の問題として出てくるが,それ自体を利用するようなものはすぐには出てこない.
まさに,「いったい何の役に立つの」

数学が何の役立つかと聞かれると,最近は面倒なので,
「世界の平和と人類の幸福のため」
と答えるようにしている(w
ちがう?

\(x^3+y^3+z^3-3xyz\\=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
もきっと,そうに違いない.これを覚えて幸福になろうw

これが,前の記事の,リゾルベントの計算に使えたのでメモ.>以前の記事「リゾルベントの3乗の和」

1の原始3乗根\(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\) と,3次式の3つの根\(\alpha,\ \beta,\ \gamma\) に対し,

\(\omega^1\alpha+\omega^2\beta+\omega^3\gamma=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma=L_{1}\)
\(\omega^2\alpha+\omega^4\beta+\omega^6\gamma=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma=L_{2}\)
\(\omega^3\alpha+\omega^6\beta+\omega^9\gamma=\alpha+\beta+\gamma=0\)(解と係数との関係)
であった.これらの3乗の和を直接計算する.

\((\alpha+\beta+\gamma)^3\\=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\
+3\alpha^2\beta+3\alpha\beta^2\\
+3\beta^2\gamma+3\beta\gamma^2\\
+3\gamma^2\alpha+3\gamma\alpha^2+6\alpha\beta\gamma\)

\(\omega^3=1\)より,\(\omega^4=\omega,\ \omega^5=\omega^2,\ \omega^6=1\) なので,
\(L_{1}^{3}=(\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma)^3\\
=\omega^3\alpha^3+\omega^6\beta^3+\gamma^3\\
+3\omega^2\alpha^2\omega^2\beta+3\omega\alpha\omega^4\beta^2\\
+3\omega^4\beta^2\gamma+3\omega^2\beta\gamma^2\\
+3\gamma^2\omega\alpha+3\gamma\omega^2\alpha^2+6\omega\alpha\omega^2\beta\gamma\\
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\
+3\omega\alpha^2\beta+3\omega^2\alpha\beta^2\\
+3\omega\beta^2\gamma+3\omega^2\beta\gamma^2\\
+3\omega\gamma^2\alpha+3\omega^2\gamma\alpha^2+6\alpha\beta\gamma\)

\(L_{2}^{3}=(\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma)^3\\
=\omega^6\alpha^3+\omega^3\beta^3+\gamma^3\\
+3\omega^4\alpha^2\omega\beta+3\omega^2\alpha\omega^2\beta^2\\
+3\omega^2\beta^2\gamma+3\omega\beta\gamma^2\\
+3\gamma^2\omega^2\alpha+3\gamma\omega^4\alpha^2+6\omega^2\alpha\omega\beta\gamma\\
=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\\
+3\omega^2\alpha^2\beta+3\omega\alpha\beta^2\\
+3\omega^2\beta^2\gamma+3\omega\beta\gamma^2\\
+3\omega^2\gamma^2\alpha+3\omega\gamma\alpha^2+6\alpha\beta\gamma\)

さて,これらから,\(L_{1}^3+L_{2}^3\) を計算するのだけれど,\((\alpha+\beta+\gamma)^3\) も加えるのが味噌.
\(\alpha+\beta+\gamma=0\) だからといって,省略するとうまくいかないw

\(L_{1}^3+L_{2}^3+(\alpha+\beta+\gamma)^3\\
=3\alpha^3+3\beta^3+3\gamma^3\\
+3\alpha^2\beta(\omega+\omega^2+1)+3\alpha\beta^2(\omega^2+\omega+1)\\
+3\beta^2\gamma(\omega+\omega^2+1)+3\beta\gamma^2(\omega^2+\omega+1)\\
+3\gamma^2\alpha(\omega+\omega^2+1)+3\gamma\alpha^2(\omega^2+\omega+1)+18\alpha\beta\gamma\)

ここで,
\(\omega^2+\omega+1=\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\right)^2+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+1\\
=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+1=0\)
および,解と係数との関係\(\alpha+\beta+\gamma=0\)より,
\(L_{1}^3+L_{2}^3
=3\alpha^3+3\beta^3+3\gamma^3+18\alpha\beta\gamma\)
を得る.

さて,ここからの変形に,因数分解公式,\(x^3+y^3+z^3-3xyz\\=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)\)
をつかう.(やっと使えるw)

\(L_{1}^3+L_{2}^3
=3\alpha^3+3\beta^3+3\gamma^3+18\alpha\beta\gamma\\
=3\alpha^3+3\beta^3+3\gamma^3-9\alpha\beta\gamma+27\alpha\beta\gamma\\
=3(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma)+27\alpha\beta\gamma\\
=3(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+27\alpha\beta\gamma\\
=3(0)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+27\alpha\beta\gamma\\
=27\alpha\beta\gamma\)

解と係数との関係\(\alpha\beta\gamma=-\frac{7}{27}\) より,
\(L_{1}^3+L_{2}^3=27\alpha\beta\gamma=27\left(-\frac{7}{27}\right)=-7\)

元の記事「リゾルベントの3乗の和」

2 件のコメント:

  1. 数学,それは人間が神の意志である「理」を紐解こうとするときに必要な言語である,と思います.合掌

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  2. それも,世界共通なところが楽です.

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