2013年6月23日日曜日

ラグランジュ・リゾルベント

(「-1 の7乗根」のつづき)
前回の記事には,電気系の2人の方から複素平面についてコメント(記事とfacebook)があった.さすが電気系では複素平面は基礎的素養だ.複素平面での1の冪根については,だいぶ前に記事にした.>以前の記事「1の累乗根(x^n-1=0 の解)の図」

ついでに電気系でない方からのコメントには「虚数=拒数です.」とも.世の中の 99.9・・・% の人にとっては,数学自体が「数が苦」w.数学が苦手なのはこの国ではデファクトスタンダードだ.>以前の記事「不得意科目は数学」
だから「数学が苦手」は,世間一般から絶大な支持がある大変受けの良い自虐セリフで,まぁこんな仕事をしていると四六時中聞かされる.「できなかったけど結構好きだった」なんて言ってくれるのは,スナックのチャンネーくらいかなw


チルンハウス変換で,元の方程式から2次の項がなくなるように,変形した方程式.
\(y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0\)
この方程式の解を\(\alpha\),\(\beta\),\(\gamma\) とすると,\((y-\alpha)(y-\beta)(y-\gamma)=0\) なので,これを展開して,
\(y^3-(\alpha+\beta+\gamma)y^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)y-\alpha\beta\gamma=0\)
より与えられた方程式の係数から次の,解と係数との関係が成り立つ.

2次の項 \(\alpha+\beta+\gamma=0\)
1次の項 \(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-\frac{7}{3}\)
定数項  \(\alpha\beta\gamma=-\frac{7}{27}\)

つづいて,1の原始3乗根\(\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\)に対し,ラグランジュ・リゾルベントは次の通り.>以前の記事「リゾルベント」
\(\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}\),\(\omega^3=1\),\(\omega^4=\omega^3\omega=\omega\)などとなるので,

\(\omega^1\alpha+\omega^2\beta+\omega^3\gamma=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma=L_{1}\)
\(\omega^2\alpha+\omega^4\beta+\omega^6\gamma=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma=L_{2}\)
\(\omega^3\alpha+\omega^6\beta+\omega^9\gamma=\alpha+\beta+\gamma=0\)(解と係数との関係)

リゾルベントと解の関係.

3つのリゾルベントを辺々加えると
\((\omega+\omega^2+1)\alpha+(\omega^2+\omega+1)\beta+3\gamma=L_{1}+L_{2}\)
ここで,
\(\omega^2+\omega+1=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}+\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}+1=0\)
より,\(0\alpha+0\beta+3\gamma=L_{1}+L_{2}\)なので,
\(3\gamma=L_{1}+L_{2}\)
となる.

さらに,リゾルベントの両辺に適宜 \(\omega\) をかけて,
\(\omega^2\alpha+\omega^3\beta+\omega\gamma=\omega L_{1}\)
\(\omega^4\alpha+\omega^3\beta+\omega^2\gamma=\omega^2L_{2}\)
\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
とすれば,\(\omega^3=1\) より
\(\omega^2\alpha+\beta+\omega\gamma=\omega L_{1}\)
\(\omega\alpha+\beta+\omega^2\gamma=\omega^2L_{2}\)
\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
となり,辺々加えると,
\((\omega^2+\omega+1)\alpha+3\beta+(\omega+\omega^2+1)\gamma=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\)
\(0\alpha+3\beta+0\gamma=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\)
\(3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\)

\(\alpha\)を残すには,
\(\omega^3\alpha+\omega^4\beta+\omega^2\gamma=\omega^2 L_{1}\)
\(\omega^3\alpha+\omega^2\beta+\omega^1\gamma=\omega L_{2}\)
\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
とすれば,\(\omega^3=1\) より
\(\alpha+\omega \beta+\omega^2\gamma=\omega^2 L_{1}\)
\(\alpha+\omega^2\beta+\omega\gamma=\omega L_{2}\)
\(\alpha+\beta+\gamma=0\)
となり,辺々加えると,
\(3\alpha+(\omega+\omega^2+1)\beta+(\omega^2+\omega+1)\gamma=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\)
\(3\alpha+0\beta+0\gamma=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\)
\(3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\)
を得る.

つまり,リゾルベントと解との関係は,
\(3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\)
\(3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\)
\(3\gamma=L_{1}+L_{2}\)

「リゾルベントの3乗の和」につづく

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