2013年6月22日土曜日

-1 の7乗根

-1 の7乗根を求めてみる.

x^7=-1 より x^14=1 だから,1の原始14乗根である.

以前,1の7乗根はカルダノの方法で解いたけど(>以前の記事),同じ方法でやっても能がないので,ラグランジュリゾルベントを使ってみるかな.コメントで,-1 の7乗根の求め方を所望されたので.


\(x^7=-1\)
\(x^7+1=0\)
\((x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)=0\)
\(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1=0\)
両辺を x^3 で割ると,
\(x^3-x^2+x-1+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}=0\)
\(x^3+\frac{1}{x^3}-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}-1=0\)



\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^3=x^3+3x+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^3}=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)\)
より,
\(x+\frac{1}{x}=t\)とおくと,
\(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)=t^3-3t\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}+2\)
より,
\(x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2=t^2-2\)

したがって,
\(x^3+\frac{1}{x^3}-\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+x+\frac{1}{x}-1=0\)
は,
\((t^3-3t)-\left(t^2-2\right)+t-1=0\)
なので,
\(t^3-t^2-2t+1=0\)
となる.

この3次方程式を解く. t の式を \(at^3+bt^2+ct+d=0\) と置いて,以下の同じ手順を踏めば,3次方程式の解の公式が得られるから,この方法も3次方程式の解の公式を得る手順となる.


まず,2次の項をなくす.このような変形を,チルンハウス変換というらしい.知らんかった.
\(t=y+\frac{1}{3}\)と書き換え,
\(\left(y+\frac{1}{3}\right)^3-\left(y+\frac{1}{3}\right)^2-2\left(y+\frac{1}{3}\right)+1=0\)
を展開して整理すれば,
\(y^3-\frac{7}{3}y+\frac{7}{27}=0\)
となり2次の項がなくなり,この方程式を解くことを考える.

ここまでは,カルダノの方法と同じ.(「ラグランジュ・リゾルベント」につづく)

4 件のコメント:

  1. もちろん趣旨が違うということでしょうけども,
    複素平面を使うのはもっと高学年にならないとダメなのでしたっけ?

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  2. 複素数平面は平成25年施行の指導要領では数学IIIであつかうようになりましたが行列が消滅.
    今の高校3年生は行列はやりますが,複素平面に触れずに卒業します.
    学習指導要領PDF

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  3. 「-1の7乗根」はたしか私がリクエストしたと記憶しています。
    ですのでありがとうございます。

    実はわたしは「4次方程式の解の公式」を覚えているところです。
    ところが結構難しくて3次方程式の解の公式よりもてこずりそうで><
    たしか「フェラーリ」「ラグランジュ」「オイラー」が
    4次方程式の解の公式の完成に成功していますよねえ。
    私はフェラーリの方法を今覚えているところです。

    そこでまたリクエストなのですが「4次方程式の解の公式」を
    くろべえさんにブログの題材として取り上げてほしいのですが、、。
    と言う訳で「4次方程式の解の公式」をリクエストします。
    よろしくお願いします。

    ※たしかくろべえさんのブログは3次方程式の解の公式は
    見た事があるのですが「4次方程式の解の公式」はなかったように
    思います。もしあるのであれば教えてください。
    よろしくお願いします。

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  4. 4次方程式の解の公式は興味ないっす.
    Wolfram のサイトで我慢してください.>Solve[a x^4+b x^3+c x^2+d x+e ==0,x]
    群論を学んだらいかがでしょう.

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