2013年6月28日金曜日

リゾルベントの3乗の和

-1の7乗根「ラグランジュリゾルベント」のつづき

ラグランジュリゾルベント \(L_{1}\),\(L_{2}\)
\(L_{1}=\omega\alpha+\omega^2\beta+\gamma\)
\(L_{2}=\omega^2\alpha+\omega\beta+\gamma\)
の3乗の和
\(L_{1}^3+L_{2}^3\) を計算する.

そのまま展開してもできなくはない.>追記「x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解の使い道」
が,次の恒等式を用いるのが簡単.

\((a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)=a^3+b^3\)
証明
左辺\(=(a+b)(a+\omega b)(a+\omega^2 b)\)
\(=(a^2+ab+\omega ab+\omega b^2)(a+\omega^2 b)\)
\(=a^3+a^2b+\omega a^2b+\omega ab^2 \\+ \omega^2a^2 b+\omega^2 ab^2+\omega^3 ab^2+\omega^3 b^3\)
\(=a^3+(1+\omega+\omega^2)a^2b+(\omega+\omega^2+1) ab^2 +\omega^3 b^3\)
\(=a^3+0a^2b+0 ab^2 +1b^3\)
\(=a^3+b^3\)

つまり,\(L_{1}^3+L_{2}^3=(L_{1}+L_{2})(L_{1}+\omega L_{2})(L_{1}+\omega^2 L_{2})\) である.

解とリゾルベントとの関係>以前の記事
\(3\alpha=\omega^2 L_{1}+\omega L_{2}\)
\(3\beta=\omega L_{1}+\omega^2 L_{2}\)
\(3\gamma=L_{1}+L_{2}\)
から,
\(3\omega\alpha=\omega^3 L_{1}+\omega^2 L_{2}=L_{1}+\omega^2 L_{2}\)
\(3\omega^2\beta=\omega^3 L_{1}+\omega^4 L_{2}=L_{1}+\omega L_{2}\)

よって,
\(L_{1}^3+L_{2}^3=(L_{1}+L_{2})(L_{1}+\omega L_{2})(L_{1}+\omega^2 L_{2})\\=(3\gamma)(3\omega^2\beta)(3\omega\alpha)=27\omega^3\alpha\beta\gamma\\=27\alpha\beta\gamma\)

解と係数との関係から
\(L_{1}^3+L_{2}^3=27\alpha\beta\gamma=27\left(\frac{-7}{27}\right)=-7\)

3乗の積につづく

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