2013年5月30日木曜日

コピー用紙で作る正四面体の中心角

先日の結晶のつくる角.>以前の記事「イベント」
「コピー用紙でも作れるよ.紙の対角線のなす角が正四面体の中心角.」
A4でもB5 でも辺の長さが \(1:\sqrt{2}\) の長方形の対角線が正四面体の中心角になるのだ.

ということで,解説してみた.

まず,立方体の4頂点を選んで,正四面体を作ることができる.
立方体の6面の対角線はすべて同じ長さになるので,正四面体の6辺となる.


中心角とは,正方形の対角線と,立方体の中心=正四面体の重心 が作る二等辺三角形の角である.図の赤色の線のなす角.

立方体はコピー用紙を2枚組み合わせて,頂点の位置を示すことができる.
図のオレンジの直線3本と正四面体の辺の作る長方形がコピー用紙.なぜなら,立方体の辺と正方形の対角線の長さは \(1:\sqrt{2}\) だから.

コピー用紙の辺にならない正四面体の辺を省いてみた.確かに,コピー用紙の頂点が,正四面体や立方体の頂点を表している.

つまり,切れ込みを入れたコピー用紙を2枚直角に組み合わせるだけで,立方体の頂点と重心(中心)の点を表すことができる.


組合わさっている2枚のコピー用紙の1枚を省く.

コピー用紙を真上から見る.

\(\angle\mathrm{AGD}\) が正四面体の中心角で,それは対角線の交点.

以前,正四面体の中心角を論じたことがあった.>以前の記事「正四面体の中心角その2」

中心角の余弦は \(-\frac{1}{3}\) だが,それをコピー用紙の対角線で計算してみるのはたやすい.直角三角形の相似がたくさんあるからである.
ざっと書くと次の通り.

短辺が \(1\),長辺が \(\sqrt{2}\) なので,対角線は \(\sqrt{3}\).
よって, \(\mathrm{GA}=\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

BCの中点 M をとると,コピー用紙の性質から,\(\mathrm{MC}:\mathrm{CD} = 1:\sqrt{2}\) .
だから,AC と DM は H で直交する.

直角三角形,MCH と MDC は角M が共通で相似だから,
\(\mathrm{CH}:\mathrm{HM} = \mathrm{DC}:\mathrm{CM}\)
\(\mathrm{DC}=1\)
なら,\(\mathrm{MC}=\frac{1}{\sqrt{2}}\),\(\mathrm{MD}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

\(\mathrm{HC}=\frac{\mathrm{MC}}{\sqrt{3}}\times\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}
=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

\(\mathrm{GH}=\mathrm{GC}-\mathrm{HC}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\)
これは \(\mathrm{GD}=\frac{\sqrt{3}}{2}\) の \(\frac{1}{3}\) である.
よって,\(\cos\angle\mathrm{AGD}=-\frac{1}{3}\)

2 件のコメント:

  1. 三角関数の加法定理とかを教えるときにも同じ問題が使えますね!

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  2. 図の対称性をうまく使うのがいい感じ.

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